走进2018中考数学典型问题研究第八讲二次函数综合研究（解析版）

走进2018中考数学典型问题研究第八讲二次函数综合研究 类型1：与线段、周长相关的问题研究 【例题1】 （2017内蒙古赤峰）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）． （1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式； （2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值； （3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为2？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由． 【考点】：二次函数综合题． 【分析】（1）可设抛物线解析式为顶点式，由B点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得D点坐标，利用待定系数法可求得直线BD解析式； （2）设出P点坐标，从而可表示出PM的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值； （3）过Q作QG∥y轴，交BD于点G，过Q和QH⊥BD于H，可设出Q点坐标，表示出QG的长度，由条件可证得△DHG为等腰直角三角形，则可得到关于Q点坐标的方程，可求得Q点坐标． 【解答】解： （1）∵抛物线的顶点C的坐标为（1，4）， ∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4， ∵点B（3，0）在该抛物线的图象上， ∴0=a（3﹣1）2+4，解得a=﹣1， ∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3， ∵点D在y轴上，令x=0可得y=3， ∴D点坐标为（0，3）， ∴可设直线BD解析式为y=kx+3， 把B点坐标代入可得3k+3=0，解得k=﹣1， ∴直线BD解析式为y=﹣x+3； （2）设P点横坐标为m（m＞0），则P（m，﹣m+3），M（m，﹣m2+2m+3）， ∴PM=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣）2+， ∴当m=时，PM有最大值； （3）如图，过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H， 设Q（x，﹣x2+2x+3），则G（x，﹣x+3）， ∴QG=|﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）|=|﹣x2+3x|， ∵△BOD是等腰直角三角形， ∴∠DBO=45°， ∴∠HGQ=∠BGE=45°， 当△BDQ中BD边上的高为2时，即QH=HG=2， ∴QG=×2=4， ∴|﹣x2+3x|=4， 当﹣x2+3x=4时，△=9﹣16＜0，方程无实数根， 当﹣x2+3x=﹣4时，解得x=﹣1或x=4， ∴Q（﹣1，0）或（4，﹣5）， 综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）． 【举一反三】 （2017.湖南怀化）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标； （3）如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积； （4）若点K为抛物线的顶点，点M（4，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标． 【考点】：二次函数综合题． 【分析】（1）根据待定系数法直接抛物线解析式； （2）分两种情况，利用相似三角形的比例式即可求出点D的坐标； （3）先求出直线BC的解析式，进而求出四边形CHEF的面积的函数关系式，即可求出最大值； （4）利用对称性找出点P，Q的位置，进而求出P，Q的坐标． 【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0），B（5，0）在抛物线y=ax2+bx﹣5上， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为y=x2﹣4x﹣5， （2）如图1，令x=0，则y=﹣5， ∴C（0，﹣5）， ∴OC=OB， ∴∠OBC=∠OCB=45°， ∴AB=6，BC=5， 要使以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，则有或， ①当时， CD=AB=6， ∴D（0，1）， ②当时， ∴， ∴CD=， ∴D（0，）， 即：D的坐标为（0，1）或（0，）； （3）设H（t，t2﹣4t﹣5）， ∵CE∥x轴， ∴点E的纵坐标为﹣5， ∵E在 ... ...