九年级上学期方差公式的妙用 学案

方差公式的妙用 一、知识回顾 若一组数据，，…的平均数为，方差为，则有 变形，得 由方差定义公式，显然有，当且仅当时，.这个变形后的方差公式很有用处，在解决有些问题中，巧妙地利用这个变形公式，往往让人耳目一新. 比如，已知两数和，则和两数的方差为 . 因此，当问题中具备平方和的特征时，不妨考虑采用方差公式试试看，或许会有不一样的体会. 二、公式应用 1.判断三角形的形状 例1设的三边为、、，满足：，，试问是什么三角形 并证明你的结论. 分析由题设可求得，的值及、的平均数，因此，、两数的方差可求. 解为等腰三角形.证明如下: 由已知，得 . ∴、两数的平均数， 、两数的方差为 ∵，即， 即， 又 ∴，， ∴此时，，故， ∴是以为底，以、为腰的等腰三角形. 2.解方程组 例2解方程组. 分析两个方程三个未知数，一般情况下是求不出具体的未知数的值的.但根据及的值就可以求出的值，这符合变形后的方差公式的特点.因此，考虑利用方差变形公式，通过求，两数的方差尝试解决问题. 解由题意，得 又，两数的平均数为， ∴，的方差为 ∵，即 则，而 ∴， ∴，此时， ∴原方程组的解为 3.求参数的值 例3设，，为的三边，且满足: (1)； (2)； (3)，则整数. 分析由题设，可得 ，， 有 故可以考虑通过计算，，三个数的方差进行求解;或者，，可以考虑通过计算，两数的方差进行尝试求解. 解由(2)，得， ∴，，三个数的平均数 又由(4)，得，，的方差为 ∴ (也可由(2)(4)，得 所以，， 的方差为 ∴） 由得 ， ∴， ∴ 又为正整数， ∴， 4.解多元方程 例4解方程: . 分析通过换元法构造出两数的平方和形式，并通过计算这两数的方差进行求解. 解设，， 则， ∴原方程可化为， ∴. ∴，两数的方差为: ∵ ∴，即 ∴，且， 从而得到， 故， 经检验，是原方程的解. 5.证明等式 例5已知实数、、满足，，求证. 分析根据，得出，可求出，两数的平方和，故可考虑通过计算，两数的方差进行探究.如果得出方差为0，则自然得出，命题就成立. 证明由已知，得， ∴ ∴，两数的方差为 ∵，即 ∴ 此时，故有. 6.求函数的最值 例64实数、满足，设，则的最大值为 分析从形式看，容易使我们联想到求，两数的方差公式.因此，不妨用方差公式尝试解答. 解由，得 ∴，两数的方差为: 又，， ∴当且仅当时，的最大值为