21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 函数与导数 热点一 利用导数研究函数的性质 利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高 考的热点问题之一，每年必考，一般考查两类题型：(1)讨论函数的单调性、极值、最值，(2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围.【来源：21·世纪·教育·网】 【例1】已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x). (1)讨论f(x)的单调性； (2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求实数a的取值范围. 解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a. 若a≤0，则f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增. 若a＞0，则当x∈时，f′(x)＞0； 当x∈时，f′(x)＜0， 所以f(x)在上单调递增，在上单调递减. 综上，知当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a＞0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减. (2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值； 当a＞0时，f(x)在x＝处取得最大值，最大值为f＝ln ＋a＝－ln a＋a－1. 因此f＞2a－2等价于ln a＋a－1＜0. 令g(a)＝ln a＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)上单调递增， g(1)＝0. 于是，当0＜a＜1时，g(a)＜0； 当a＞1时，g(a)＞0. 因此，实数a的取值范围是(0，1). 【类题通法】(1)研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论，讨论单调性要先求函数定义域，再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性. (2)由函数的性质求参数的取值范围，通常根 据函数的性质得到参数的不等式，再解出参数的范围.若不等式是初等的一次、二次、指数或对数不等式，则可以直接解不等式得参数的取值范围；若不等式是一个不能直接解出的超越型不等式时，如求解ln a＋a－1<0，则需要构造函数来解.2-1-c-n-j-y 【对点训练】 已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e为自然对数的底数). (1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间； (2)若函数f(x)在(－1，1)上单调递增，求实数a的取值范围. 解 (1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)ex， 所以f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex ＝(－x2＋2)ex. 令f′(x)>0，即(－x2＋2)ex>0，因为ex>0， 所以－x2＋2>0，解得－0，所以－x2＋(a－2)x＋a≥0对x∈(－1，1)都成立， 即a≥＝ ＝(x＋1)－对x∈(－1，1)都成立. 令y＝(x＋1)－，则y′＝1＋>0. 所以y＝(x＋1)－在(－1，1)上单调递增， 所以y<(1＋1)－＝.即a≥. 因此实数a的取值范围为a≥. 热点二 利用导数研究函数零点或曲线交点问题 函数的零点、方程的根、曲线的交点，这三个问 题本质上同属一个问题，它们之间可相互转化，这类问题的考查通常有两类：(1)讨论函数零点或方程根的个数；(2)由函数零点或方程的根求参数的取值范围.21·cn·jy·com 【例2】设函数f(x)＝ln x＋，m∈R. (1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值； (2)讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数. 解 (1)由题设，当m＝e时，f(x)＝ln x＋， 定义域为(0，＋∞)，则f′(x)＝，由f′(x)＝0，得x＝e. ∴当x∈(0，e)，f′(x)＜0，f(x)在(0，e)上单调递减， 当x∈(e，＋∞)，f′(x)＞0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增， ∴当x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝ln e＋＝2， ∴f(x)的极小值为2. (2)由题设g(x)＝f′(x)－＝－－(x＞0)， 令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x＞0). 设φ(x)＝－x3＋x(x＞0)， 则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)， 当x∈(0，1)时，φ′(x)＞0，φ(x)在(0，1)上单调递增； 当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)＜0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减. ∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是 ... ...
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