2018高考数学（理）热点题型--三角函数与解三角形（精讲）

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 三角函数与解三角形 热点一　三角函数的图象和性质 注意对基本三角函数y＝sin x，y＝c os x的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解.21cnjy.com 【例1】已知函数f(x)＝sin x－2sin2. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在区间上的最小值. (1)解　因为f(x)＝sin x＋cos x－. ＝2sin－. 所以f(x)的最小正周期为2π. (2)解　因为0≤x≤， 所以≤x＋≤π. 当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值. 所以f(x)在区间上的最小值为f＝－. 【类题通法】求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B周期与最值的模板 第一步：三角函数式的化简，一般化成y＝Asin(ωx＋φ)＋h或y＝Acos(ωx＋φ)＋h的形式；21·世纪*教育网 第二步：由T＝求最小正周期； 第三步：确定f(x)的单调性； 第四步：确定各单调区间端点处的函数值； 第五步：明确规范地表达结论. 【对点训练】 设函数f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx(ω＞0)，且y＝f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为. (1)求ω的值； (2)求f(x)在区间上的最大值和最小值. 解　(1)f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx ＝－·－sin 2ωx ＝cos 2ωx－sin 2ωx＝－sin. 因为y＝f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，故该函数的周期T＝4×＝π. 又ω＞0，所以＝π，因此ω＝1. (2)由(1)知f(x)＝－sin. 设t＝2x－，则函数f(x)可转化为y＝－sin t. 当π≤x≤时，≤t＝2x－≤ ， 如图所示，作出函数y＝sin t在 上的图象， 由图象可知，当t∈时，sin t∈， 故－1≤－sin t≤，因此－1≤f(x)＝－sin≤. 故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为，－1. 热点二　解三角形 高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理 的综合运用为主.其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题.21世纪教育网版权所有 【例2】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝. (1)证明：sin Asin B＝sin C； (2)若b2＋c2－a2＝bc，求tan B. (1)证明　在△ABC中，根据正弦定理， 可设＝＝＝k(k>0). 则a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C. 代入＋＝中， 有＋＝，变形可得 sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B). 在△ABC中，由A＋B＋C＝π， 有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C， 所以sin Asin B＝sin C. (2)解　由已知，b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理，有 cos A＝＝. 所以sin A＝＝. 由(1)知，sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B， 所以sin B＝cos B＋sin B， 故tan B＝＝4. 【类题通法】(1)①在等式中既有边长又有角的正余弦时，往往先联想正弦定理；②出现含有边长的平方及两边之积的等式，往往想到应用余弦定理. (2)正余弦定理与两角和(差)角公式的活用是求解该类问题的关键. 【对点训练】 四边形ABCD的内角A与C互补，且AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2. (1)求角C的大小和线段BD的长度； (2)求四边形ABCD的面积. 解　(1)设BD＝x， 在△ABD中，由余弦定理，得cos A＝， 在△BCD中，由余弦定理，得cos C＝， ∵A＋C＝π，∴cos A＋cos C＝0. 联立上式，解得x＝，cos C＝. 由于C∈(0，π).∴C＝，BD＝. (2)∵A＋C＝π，C＝，∴sin A＝sin C＝. 又四边形ABCD的面积SABCD＝S△ABD＋S△BCD ＝AB·ADsin A＋CB·CDsin C＝×(1＋3)＝2， ∴四边形ABCD的面积为2. 热点 ... ...