21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 立体几何 热点一 空间点、线、面的位置关系及空间角的计算 空间点、线、面的位置关系通常考查平行、垂 直关系的证明，一般出现在解答题的第(1)问，解答题的第(2)问常考查求空间角，求空间角一般都可以建立空间直角坐标系，用空间向量的坐标运算求解.21教育网 【例1】如图，在△ABC中，∠ABC＝，O为AB边上一点，且3OB＝3OC＝2AB，已知PO⊥平面ABC，2DA＝2AO＝PO，且DA∥PO.【来源：21cnj*y.co*m】 (1)求证：平面PBD⊥平面COD； (2)求直线PD与平面BDC所成角的正弦值. (1)证明 ∵OB＝OC，又∵∠ABC＝， ∴∠OCB＝，∴∠BOC＝. ∴CO⊥AB. 又PO⊥平面ABC， OC 平面ABC，∴PO⊥OC. 又∵PO，AB 平面PAB，PO∩AB＝O， ∴CO⊥平面PAB，即CO⊥平面PDB. 又CO 平面COD， ∴平面PDB⊥平面COD. (2)解 以OC，OB，OP所在射线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 设OA＝1，则PO＝OB＝OC＝2，DA＝1. 则C(2，0，0)，B(0，2，0)，P(0，0，2)，D(0，－1，1)， ∴＝(0，－1，－1)，＝(2，－2，0)，＝(0，－3，1). 设平面BDC的一个法向量为n＝(x，y，z)， ∴∴ 令y＝1，则x＝1，z＝3，∴n＝(1，1，3). 设PD与平面BDC所成的角为θ， 则sin θ＝ ＝＝. 即直线PD与平面BDC所成角的正弦值为. 【类题通法】利用向量求空间角的步骤 第一步：建立空间直角坐标系. 第二步：确定点的坐标. 第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标. 第四步：计算向量的夹角(或函数值). 第五步：将向量夹角转化为所求的空间角. 第六步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范. 【对点训练】 如图所示，在多面体A1B1D 1 DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F. (1)证明：EF∥B1C. (2)求二面角E A1D B1的余弦值. (1)证明 由正方形的性质 可知A1B1∥AB∥DC，且A1B1＝AB＝DC，所以四边形A1B1CD为平行四边形，从而B1C∥A1D，又A1D 面A1DE，B1C 面A1DE，于是B1C∥面A1DE.又B1C 面B1CD1，面A1DE∩面B1CD1＝EF，所以EF∥B1C. (2)解 因为四边形AA1B1B，AD D1A1，ABCD均为正方形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD，AB⊥AD且AA1＝AB＝AD.以A为原点，分别以，，为x轴，y轴和z轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系，可得点的坐标A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，D1(0，1，1)，而E点为B1D1的中点，所以E点的坐标为.21世纪教育网版权所有 设平面A1DE的一个法向量n1＝(r1，s1，t1)，而该面上向量＝，＝(0，1，－1)，由n1⊥，【版权所有：21教育】 n1⊥得r1，s1，t1应满足的方程组 (－1，1，1)为其一组解，所以可取n1＝(－1，1，1). 设平面A1B1CD的一个法向量n2 ＝(r2，s2，t2)，而该面上向量＝(1，0，0)，＝(0，1，－1)，由此同理可得n2＝(0，1，1).21·cn·jy·com 所以结合图形知二面角E A1D B1的余弦值为 ＝＝. 热点二 立体几何中的探索性问题 此类试题一般以解答题形式呈现，常涉及线、面平行、垂直位置关系的探究或空间角的计算问题，是高考命题的热点，一般有两种解决方式： (1)根据条件作出判断，再进一步论证； (2)利用空间向量，先假设存在点的坐标，再根据条件判断该点的坐标是否存在. 【例2】如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝.21教育名师原创作品 (1)求证：PD⊥平面PAB； (2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值； (3)在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由. (1)证明 因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD， 所以AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD. 又PA⊥PD，AB∩PA＝A，所以PD⊥平面PAB. (2)解 取AD的中点O， ... ...
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