【备考2018】高考数学真题精讲精练专题2.3函数的奇偶性与周期性（2013-2017）

2018年高考一轮复习真题汇编(2013-2017)： 2.3函数的奇偶性与周期性 [最新考纲] 1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 2．会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性． 3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性． 知识回顾 一、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)是偶函数 关于 对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)是奇函数 关于 对称 注： 1、奇偶函数的定义域的特点：由于定义中对任意一个x都有一个关于原点对称的-x在定义域中，即说明奇偶函数的定义域必关于原点对称；2·1·c·n·j·y 2、存在既是奇函数，又是偶函数的函数，它们的特点是定义域关于原点对称，且解析式化简后等于零。 二、奇(偶)函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 ，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 (填“相同”、“相反”)．【来源：21cnj*y.co*m】 (2)在公共定义域内 ①两个奇函数的和函数是 ，两个奇函数的积函数是偶函数． ②两个偶函数的和函数、积函数是 ． ③一个奇函数，一个偶函数的积函数是 ． 若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝（ ） 1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 （填 “相同”、“ 相反”）。 2、在公共定义域内， 亦即： （1）两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数； （2）两个偶函数的和函数、积函数是偶函数； （3）一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数。 注：以上结论是在两函数的公共定义域内才成立；并且只能在选择题、填空题中直接应用，解答题需先证明再利用。 3、若是奇函数f(x)且在x=0处有定义，则f(0)=0. 4、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称，且这是函数具有奇偶性的必要不充分条件； 5、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立； 6、可逆性： 是偶函数； 奇函数； 7、等价性： 8、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称； 9、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。 三、周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝ ，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中 的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．21教育名师原创作品 四、函数奇偶性的判定 <1>利用定义判断函数奇偶性的一般步骤 ，即： （1）首先确定函数的定义域，看它是否关于原点对称。若不对称，则既不是奇函数又不是偶函数。 （2）若定义域关于原点对称，再判定f(-x)与f(x)之间的关系 ①若f(-x)=-f(x)（或f(-x) +f(x)=0），则为 ； ②若f(-x)=f(x)(或 f(-x) -f(x)=0)，则f(x)为 ； ③若f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x)，则f(x) ; ④若f(-x) ≠f(x)且f(-x)≠- f(x)，则f(x) 。 <2>图象法： <3>性质法： <4>一些重要类型的奇偶函数 函数f(x)=ax+a-x为偶函数; 函数f(x)=ax-a-x为奇函数； 函数f(x)=( ax-a-x)/( ax+a-x)=( ax-1)/( ax+1)其中（a>0且a≠1）为奇函数； 函数f(x)=loga()为奇函数（a>0且a≠1）; 函数f(x)= loga()为奇函数（a>0且a≠1） 五、分段函数的奇偶性 1、分段函数奇偶性的判定步骤 分析定义域是否关于原点对称； 对x的值进行分段讨论，寻求f(X)与f(-X)在各段上的关系； 综合（2）在定义域内f(X)与f(-X)的关系，从而判断f(X)的奇偶性。 注：奇偶性是函数的一个整体性质，不能说函数在定义域的某一段上是奇函数或偶函数。 六、抽象函数的奇偶性 判断（或证 ... ...