【备考2018】高考数学真题精讲精练专题7.6 空间向量及其运算（2013-2017）

2018年高考一轮复习真题汇编(2013-2017)： 7.6 空间向量及其运算 考纲剖析 1．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示． 2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示． 3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直. 知识回顾 1．空间向量 在空间中，具有 的量叫做空间向量，其大小叫做向量的长度或模． 2．空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b?存在λ∈R，使 . (2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面?存在唯一的有序实数对(x，y)，使 .2·1·c·n·j·y (3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得 . 3．两个向量的数量积 (1)非零向量a，b的数量积a·b＝ . (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b＝ ． ②交换律：a·b＝ ③分配律：a·(b＋c)＝ . 4．空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3). 向量表示 坐标表示 数量积 a·b 共线 a＝λb(b≠0) 垂直 a·b＝0 (a≠0，b≠0) 模 |a| 夹角 (a≠0，b≠0) 精讲方法 一、直线的方向向量与直线的向量方程、平面的法向量与平面的向量表示 （一）用向量法证明平行、垂直 1.用向量证明线面平行的方法有： (1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直； (2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行； (3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示. 2.用向量法证垂直问题 (1)证明线线垂直,只需证明两直线的方向向量数量积为0; (2)证明线面垂直,只需证明直线的方向向量与平面的法向量共线,或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直;2-1-c-n-j-y (3)证明面面垂直,只需证明两平面的法向量的数量积为0,或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直. 3．利用直线的方向向量和平面的法向量，可以判定直线与直线,直线与平面，平面与平面的平行和垂直. （1）设直线的方向向量为直线的方向向量为则 （2）设直线l的方向向量为平面α的法向量为则 （3）设平面α的法向量为平面β的法向量则 （二）异面直线所成的角 高考中对异面直线所成的角的考查,一般出现在综合题的某一步,一般步骤为: (1)平移：要充分挖掘图形的性质,寻找平行关系,如利用“中点”特征等. (2)证明：证明所作的角是异面直线所成的角. 寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之. (4)取舍：因为异面直线所成的角θ的取值范围是0°<θ≤90°，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角.21教育网 若用向量法，则转化为求两向量的夹角. （三）利用向量法解决开放性问题 1.开放性问题是近几年高考的一种常见题型，这类问题具有一定的思维深度，用向量法较容易解决. 2.对于探索性问题，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在. 二、空间直角坐标系 （一）求空间中点的坐标 1、通过分析几何体的特点，恰当的建立坐标系，可以方便的写出点的坐标，“恰当”的原则是：①充分利用几何体的垂直关系；②尽可能的让点落在坐标轴或坐标平面上。 注：不同的建系方法，求出的点的坐标也不同。 2、求空间点P坐标的方法 方法一：（1）过点P作一个平面平行于坐标平面yOz,这个平面与x轴的交点记为，它在x轴上的坐标为x,这个数x叫做点P的横坐标； （2）过点P作一个平面平行于坐标平面xOz，这个平面与y轴的交点记为，它在y轴上的坐标为y，这个数y叫做点P的纵坐标； （3）过点P作一个平面平行于坐标平面xOy,这个平面与z轴的交点记为，它在z ... ...