2018高考数学教材改编典题精练--不等式的证明

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 不等式的证明 【考点梳理】 1．基本不等式 定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 定理2：如果a，b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立． 定理3：如果a，b，c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立． 2．不等式的证明方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等． 【教材改编】 1．(选修4－5 P35例3改编)已知a，b∈R＋，a＋b＝2，则＋的最小值为(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 [答案] B [解析] ∵a，b∈R＋，且a＋b＝2， ∴(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4， ∴＋≥＝2，即＋的最小值为2，(当且仅当a＝b＝1时，“＝”成立)．故选B. 2．(选修4－5 P21例2改编)若a，b，m∈R＋，且a>b，则下列不等式一定成立的是(　　) A.≥ B.> C.≤ D.< [答案] B [解析] ∵a，b，m∈R＋，且a>b. ∴－＝>0，即>，故选B. 3．(选修4－5 P37习题T7改编)设a，b∈R＋，则(2b＋)的最小值为(　　) A. B. C. D. [答案] D [解析] ∵a，b∈R＋，∴ ＝＋2ab＋≥＋2＝(当且仅当2ab＝时，“＝”成立)，故选D. 4．(选修4－5 P29习题T4改编)设x，y∈R＋，且x＋y＝1.则的最小值为_____．21世纪教育网版权所有 [答案] 9 [解析] ∵x、y∈R＋，且x＋y＝1， ∴x2＋2xy＋y2＝1. ∴ ＝ ＝ ＝5＋＋≥5＋2＝9(当且仅当＝，即x＝y＝时，“＝”成立)． ∴的最小值为9. 5．(选修4－5 P25习题T1改编)已知a>0，b>0，c>0. 求证：＋＋≥a＋b＋c. [解析] 证明：∵a>0，b>0，c>0， ∴＋b≥2＝2a(当且仅当＝b，即a＝b时，“＝”成立)． 同理＋c≥2b，＋a≥2c， ∴＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)， ∴＋＋≥a＋b＋c. 6．(选修4－5 P36习题T5改编)求证：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2. [解析] 证明：法一：∵(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2 ＝(a2c2＋b2d2＋a2d2＋b2c2)－(a2c2＋b2d2＋2abcd) ＝a2d2＋b2c2－2ad·bc＝(ad－bc)2≥0， ∴(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，(当且仅当ad＝bc时“＝”成立)． 法二：由(a2＋b2)(c2＋d2)＝a 2c2＋b2d2＋a2d2＋b2c2≥a2c2＋b2d2＋2ad·bc＝(ac＋bd)2(当且仅当ad＝bc时，“＝”成立)．21教育网 ∴(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2. 7．(选修4－5 P45习题T3、4改编)设a、b、c均为正整数，且ab＋bc＋ac＝3. (1)求证：a＋b＋c≥3； (2)求证：＋＋≥3. [解析] 证明：(1)∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac. ∴三式相加可得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac. ∴(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac≥(ab＋bc＋ac)＋2(ab＋bc＋ac)＝3(ab＋bc＋ac)＝9.21cnjy.com 又a，b，c均为正整数，∴a＋b＋c≥3成立． (2)∵a>0，b>0，c>0， ∴a3＋b3＝(a＋b)(a2＋b2－ab)≥ab(a＋b)． 即a3＋b3≥ab(a＋b)． 同理b3＋c3≥bc(b＋c)．c3＋a3≥ac(a＋c)． 以上三式左右两边分别相加得 2(a3＋b3＋c3)≥a2b＋ab2＋b2c＋bc2＋c2a＋a2c， 又a2b＋ab2＋b2c＋bc2＋c2a＋ a2c＝(a2b＋bc2)＋(b2c＋a2c)＋(ab2＋ac2)≥2abc＋2abc＋2abc＝6abc，21·cn·jy·com ∴a3＋b3＋c3≥3abc， ∴≥3， 即＋＋≥3. 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 版权所有@21世纪教育网(www.21cnjy.com) ... ...