21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 坐标系 【考点梳理】 1．坐标系 (1)坐标变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下， 点P(x，y)对应到点(λx，μy)，称φ为坐标系中的伸缩变换． (2)极坐标系 在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox，叫做极轴；再选一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． 设M是平面内任意一点，极点O与点M的距离| OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．21·世纪*教育网 2．直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为 极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则，. 【教材改编】 1．(选修4－4 P5思考改编)曲线y＝sin x经过变换得到曲线C，则曲线C的( ) A．T＝π，ymax＝3 B．T＝4π，ymax＝3 C．T＝π，ymax＝ D．T＝4π，ymax＝ [答案] A [解析] 将代入y＝sin x得 y′＝sin 2x′， 即y′＝3 sin2x′. 即曲线C的解析式为 y＝3sin 2x，故T＝＝π，ymax＝3.故选A. 2．(选修4－4 P8习题T5改编)椭圆C：x2＋9y2＝9经过变换Γ后变成圆x2＋y2＝1.则变换Γ可能为( )2-1-c-n-j-y A. B. C. D. [答案] B [解析] 设变换Γ： 将Γ代入x2＋9y2＝9得2＋9·2＝9， 即x′2＋y′2＝1. 由题意得∴故选B. 3．(选修4－4 P12习题T3改编)在极坐标系中A(2，－)，B(4，)两点间的距离为( )21·cn·jy·com A．2 B．3 C．6 D．3 [答案] C [解析] 法一：(数形结合)在极坐标系中，A、B两点如图所示，|AB|＝|OA|＋|OB|＝6. 法二：A(2，－)；B(4，)的直角坐标为A(2cos(－)，2sin(－)) ＝A(1，－)， B(4cos ，4sin )＝B(－2,2)． ∴|AB|＝＝＝6.故选C. 4．(选修4－4 P12探究改编)在极坐标系中，曲线ρ＝acos θ围成的几何图形的周长为( ) A．2πa B．πa C．2π|a| D．π|a| [答案] D [解析] 由ρ＝acos θ得 ρ2＝aρcos θ，即x2＋y2－ax＝0， 即(x－)2＋y2＝()2， 曲线表示半径r＝的圆， 其周长为2πr＝2π·＝π|a|，故选D. 5．(选修4－4 P15习题T3(4)改编)双曲线ρ2cos 2θ＝c(c≠0)的离心率为( ) A. B. C．2 D.或2 [答案] A [解析] 由ρ2cos 2θ＝c得 ρ2(cos2θ－sin2θ)＝c，即x2－y2＝c(c≠0)， ①当c>0时，双曲线为－＝1， 离心率e＝＝. 当c<0时，双曲线为－＝1， 离心率为e＝＝.故选A. 6．(选修4－4 P15习 题T2改编)在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝，ρcos θ＋ρsin θ＝1围成图形的面积是_____．21教育网 [答案] [解析] θ＝0，θ＝，ρcos θ＋ρsin θ＝1三直线对应的直角坐标方程分别为：y＝0，y＝x，x＋y＝1，作出图形得围成图形为如图△OAB，S＝. 7．(选修4－4 P15习题T6改 编)在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2＝，A、B是C上两点，O为极点，若OA⊥OB，则△OAB面积的最大值为_____．21cnjy.com [答案] [解析] 可设A(ρA，θ)，B(ρB，θ±)． ∴ρ＝，ρ＝， ∴ρρ＝ ＝，∴当sin22θ＝0时，(ρρ)max＝6， 即(ρAρB)max＝. ∴S＝ρAρB的最大值为. 8．(选修4－4 P15习题T5改编)在极坐标系中，求点A(2，－)到直线ρsin(θ＋)＝2的距离．2·1·c·n·j·y [解析] 法一：点A(2，－)的直角坐标为(2cos(－)， 2sin(－))，即(，－)， 由直线ρsin(θ＋)＝2，得 ρsin θcos＋ρcos θsin ＝2， 即x＋y－2＝0. 点(，－)到直线x＋y－2＝0的距离 d＝＝2. 法二：(数形结合法)在极坐标系中， 直线ρsin(θ＋)＝2是过点M(2，0)，N(2，)的直线，如图，显然A到直线l的距离为|AM|＝2.21世纪教 ... ...
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