第二章 随机变量及其分布 2.3 离散型随机变量的均值与方差 2.3.1 离散型随机变量的均值 A级 基础巩固 一、选择题 1．一批种子的发芽率为80%，现播下100粒该种种子，则发芽的种子数X的均值为( ) A．60 B．70 C．80 D．90 解析：易知发芽的种子数X～B(100，0.8)， 所以E(X)＝100×0.8＝80. 答案：C 2．若随机变量ξ的分布列如下表所示，则E(ξ)的值为( ) ξ 0 1 2 3 4 5 P 2x 3x 7x 2x 3x x A. B. C. D. 解析：根据概率和为1，可得x＝， 所以E(ξ)＝0×2x＋1×3x＋2×7x＋3×2x＋4×3x＋5×x＝40x＝. 答案：C 3．同时抛掷5枚质地均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为X，则X的均值是( ) A．20 B．25 C．30 D．40 解析：抛掷一次正好出现3枚反面向上，2枚正面向上的概率为eq \f(C,25)＝.所以X～B.故E(X)＝80×＝25. 答案：B 4．若随机变量ξ～B(n，0.6)，且E(ξ)＝3，则P(ξ＝1)的值为( ) A．2×0.44 B．2×0.45 C．3×0.44 D．3×0.64 解析：因为ξ～B(n，0.6)，所以E(ξ)＝n×0.6，故有0.6n＝3，解得n＝5.P(ξ＝1)＝C×0.6×0.44＝3×0.44. 答案：C 5．口袋中有编号分别为1、2、3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为( ) A. B. C．2 D. 解析：X＝2，3所以P(X＝2)＝eq \f(1,C)＝，P(X＝3)＝eq \f(C,C)＝. 所以E(X)＝2×＋3×＝. 答案：D 二、填空题 6．已知X～B，则E(2X＋3)＝_____． 解析：E(X)＝100×＝50，E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝103. 答案：103 7．某射手射击所得环数ξ的分布列如下： ξ 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，则y的值为_____． 解析： 答案：0.4 8．对某个数学题，甲解出的概率为，乙解出的概率为，两人独立解题．记X为解出该题的人数，则E(X)＝_____． 解析：P(X＝0)＝×＝，P(X＝1)＝×＋×＝，P(X＝2)＝×＝，E(X)＝＝. 答案： 三、解答题 9．某运动员投篮投中的概率为0.6.求： (1)一次投篮时投中次数X的均值； (2)重复5次投篮时投中次数Y的均值． 解：(1)X的分布列为 X 0 1 P 0.4 0.6 则E(X)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6， 即一次投篮时投中次数X的均值为0.6. (2)Y服从二项分布，即Y～B(5，0.6)． 故E(Y)＝5×0.6＝3， 即重复5次投篮时投中次数Y的均值为3. 10．在10件产品中，有3件一等品、4件二等品、3件三等品．从这10件产品中任取3件，求取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望． 解：从10件产品中任取3件，共有C种结果．从10件产品任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为CC，其中k＝0，1，2，3. 所以P(X＝k)＝eq \f(CC,C)，k＝0，1，2，3. 所以随机变量X的分布列是： X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. B级 能力提升 1．某船队若出海后天气好，可获得5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元；若不出海也要损失1 000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是( ) A．2 000元 B．2 200元 C．2 400元 D．2 600元 解析：出海的期望效益E(ξ)＝5 000×0.6＋(1－0.6)×(－2 000)＝3 000－800＝2 200(元)． 答案：B 2．设离散型随机变量ξ的可能取值为1，2，3，4，P(ξ＝k)＝ak＋b(k＝1，2，3，4)，且E(ξ)＝3，则a＋b＝_____． 解析：因为P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝10a＋4b＝1，且E(ξ)＝30a＋10b＝3，所以a＝，b＝0，所以a＋b＝. 答案： 3．由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失(以“？” 代替)，其表如下： X 1 2 3 4 5 6 P 0.20 0.10 0.？5 0.10 0.1？ 0.20 (1)求P(X＝3)及P (X＝5)的值； (2)求E(X)； (3)若η＝2X－E(X)，求E(η)． 解：(1)由分布列的性质可知 0．20＋0.10＋0.？5＋0.10＋0.1？＋0.20＝1. 故0.？5＋0.1？＝0.40. 由于小数点后只 ... ...
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