1.2.1 三角函数的定义 基础知识 基本能力 1．理解任意角的余弦、正弦和正切的定义，了解任意角的余切、正割和余割的定义．(重点) 2．掌握三角函数值在各象限的符号．通过任意角的三角函数的定义，认识到锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例．(重点、易混点) 1．会根据三角函数的定义来求正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域． 2．能够判断三角函数在各象限内的符号．(重点) 1．三角函数的定义和定义域 在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点O的距离是r(r＝＞0). 三角函数 定义 定义域 名称 sin α R 正弦 cos α R 余弦 tan α 正切 sec α 正割 csc α {α|α≠kπ，k∈Z} 余割 cot α {α|α≠kπ，k∈Z} 余切 归纳总结由定义可知，这六个比值的大小与在终边上所取的点P的位置无关，只与角α的大小有关，即它们都是以角α为自变量，以比值为函数值的函数．定义中的α是任意角，但对于一个确定的角，只要各个三角函数有意义，其值就是唯一的． 【自主测试1－1】若角θ的终边过点P(a,8)，且cos θ＝－，则a的值是( ) A．6 B．－6 C．10 D．－10 解析：由任意角的三角函数的定义可知＝－，解得a＝±6.显然a＝6时不成立，所以a＝－6. 答案：B 【自主测试1－2】若角α终边上有一点P(－2,0)，则下列函数值不存在的是( ) A．sin α B．cos α C．tan α D．cot α 答案：D 2．三角函数在各象限的符号 (1)用图形表示，如图所示． (2)用表格表示. α的终边 所在位置 x轴 正半轴 第一 象限 y轴 正半轴 第二 象限 x轴 负半轴 第三 象限 y轴 负半轴 第四 象限 sin α 0 ＋ ＋ ＋ 0 － － － cos α ＋ ＋ 0 － － － 0 ＋ tan α 0 ＋ 不存在 － 0 ＋ 不存在 － 归纳总结三角函数值在各象限的符号可简记为：“一全正，二正弦，三两切，四余弦，正、余割同余、正弦”，即，第一象限正弦、余弦、正切、余切都为正；第二象限正弦为正；第三象限正切、余切为正；第四象限余弦为正；正割、余割的符号与余弦、正弦的符号相同． 三角函数在各象限的符号是由什么确定的？ 答：由三角函数定义可知，三角函数在各象限的符号由角α终边上任意一点的坐标来确定． 【自主测试2－1】若sin θcos θ＞0，则θ角的终边在( ) A．第一或第二象限 B．第一或第三象限 C．第一或第四象限 D．第二或第四象限 解析：由sin θcos θ＞0，可知若sin θ＞0，则cos θ＞0，则角θ的终边位于第一象限；若sin θ＜0，则cos θ＜0，则角θ的终边位于第三象限．综上，可知θ角的终边位于第一或第三象限． 答案：B 【自主测试2－2】已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α在第_____象限． 解析：因为点P(tan α，cos α)在第三象限， 所以tan α＜0，cos α＜0，故角α在第二象限． 答案：二 锐角三角函数推广为任意角的三角函数的过程 剖析：角的概念推广后，我们利用直角坐标系把锐角三角函数推广到任意角的三角函数． 如图所示，射线OP在第一象限，P(x，y)是该射线上的任意一点，MP⊥Ox于点M，记∠MOP＝α，则OM＝x，MP＝y，r＝OP＝＞0，由锐角三角函数的定义知，sin α＝，cos α＝，tan α＝. 下面我们来研究任意角的三角函数． 如右上图所示，已知任意角α，以角α的顶点O为坐标原点，以角α的始边的方向作为x轴的正方向，建立直角坐标系xOy，并且使∠xOy＝90°. 在角α的终边上取点A，使OA＝1，设A的坐标为(l，m)，再任取一点P(x，y)，设OP＝r(r≠0)，由相似三角形对应边成比例，得＝|l|，＝|m|，＝. 因为点A，P在同一象限内，所以它们的横纵坐标符号相同． 因此得＝l，＝m，＝，不论点P在终边上的位置如何，它们都是定值，它们只依赖于α的大小，与点P在α终边上的位置无关．我们定义cos α＝，sin α ... ...
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