专题15 从全等到相似 阅读与思考 相似三角形的知识应用广泛，可以证明角的相等、线段成比例等问题. 通过寻找（或构造）相似三角形获得比例线段或等角，用以论证或计算的方法，我们称为相似三角形法，这是几何学中应用最广泛的方法之一. 全等三角形是相似三角形相似比等于1的特殊情况，相等是它的主旋律，从全等到相似的过程，不仅是认识形式上的变化，而且在思维方法上也是一个飞跃，在相似形的问题中出现的线段间的关系比全等形中的等量形式更为复杂，不仅有比例式，还有等积式、平方式，甚至是线段乘积的和差、线段比的和差. 证明这类问题，常常要通过命题的转换或中间量的过渡. 熟悉下面这些“A”型、“X”型，子母型等相似三角形. 例题与求解 【例1】如图，□ABCD中，直线PS分别交AB，CD的延长线于P，S，交BC，AC，AD于Q，E，R，图中相似三角形的对数（不含全等三角形）共有 对. （武汉市竞赛试题） 解题思路：从寻找最基本的相似三角形入手，注意相似三角形的传递性. 【例2】 如图，在直角梯形ABCD中，AB=7，AD=2，BC=3. 如果边AB上的点P使得以P，A，D为顶点的三角形和以P，B，C为顶点的三角形相似，那么这样的点P有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解题思路：通过代数化，将P点的个数的讨论转化为方程解的个数的讨论. 要使两个三角形相似，并没有具体的对应关系，所以结论具有不确定性，应注意分类讨论. 【例3】如图，在△ABC中，AB=AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F. 求证：. （吉林省中考试题） 解题思路：由于BP，PE，PF在一条直线上，所以必须通过等线段的代换促使问题的转化. 证明比例式或等积式是几何问题中的常见题型，解决它的常用方法是：① 找相似：三点定形法；② 作平行：根据要证明的式子，找到一个分点，过此点作平行线，能写出要证式子中的一个比或与其相关的比；③ 变原式：包括等量代换、等积代换和等比代换. 【例4】已知△ABC中，，CH是AB边上的高，且满足. 试探讨∠A与∠B的关系，并加以证明. （武汉市竞赛试题） 解题思路：由题设易想到直角三角形中的基本图形、基本结论，可猜想出∠A与∠B的关系. 解题的关键是综合运用勾股定理、比例线段的性质，推导判定两个三角形相似的条件. 如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，由此得出的等积式在计算与证明中应用极为广泛，其特点是： ① 一线段是两个三角形的公共边；② 另两条线段在同一直线上. 构造逆命题是提出问题的一个常用方法，例4是在直角三角形被斜边上的高分成的相似三角形得出结论基础上提出的一个逆命题. 你能提出新的问题吗？并加以证明. 【例5】如图1，P为△ABC内一点，连接PA，PB，PC. 在△PAB，△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点. （1）如图2，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E，试说明E是△ABC的自相似点； （2）在△ABC中，. ① 如图3，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）； ② 若△ABC的内心（∠A，∠B，∠C角平分线的交点）P是该三角形的自相似点，求该三角形三 个内角的度数. （南京市中考试题） 解题思路：本例设问形式多样，从概念的判断说理到作图求解，由浅入深，而认识并深刻理解“自相似点”的概念，是解题的关键. 图1 图2 图3 【例6】如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm. 点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动. 如果P，Q同时出发，用t（秒）表示移动时间（），那么： （1）当t为何值时，△QAP为等腰三角形？ （2）求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论； （3）当t为何值时，以点Q，A，P为顶点 ... ...
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