毕达哥拉斯学派 学案 (9)

毕达哥拉斯学派 一、自学目标：通过自学本节内容了解毕达哥拉斯学派的数学成就。 二、自学内容提炼 （一）提出问题 1、毕达哥拉斯学派有哪些数学成就？ 2、希腊人对待这次危机的态度不是积极地去解决它，而是想方设法去回避它，如何评价希腊人对“第一次数学危机”态度？ （二）导入新知 毕达哥拉斯学派 毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前572～约公元前497)是古希腊哲学家、数学家、天文家和音乐理论家.出生于爱琴海中的萨摩斯岛(Samos，今希腊东部小岛).青年时期他曾经离开家乡到世界各地游学.40岁左右，他定居意大利半岛南部的克罗多内(Crotone)，并在这里组织了一个集政治、宗教和学术研究于一体的秘密会社，这就是著名的毕达哥拉斯学派.在学术方面，这个学派主要致力于 学和 学的研究. 1. “ ”的思想 毕达哥拉斯学派认为:事物的本原是 .世界上的万事万物及其运动变化规律都可以用 或者 表示出来. 这种“万物皆数”的观念从另一个侧面强调了数学对客观世界的重要作用，这也是数学化思想的最初表述形式. 2.对自然数的分类 毕达哥拉斯学派的初步数学化思想促进了对自然数的研究，他们定义了许多概念. 一个数等于其（除本身以外的）全部因子之和称之为 数，如28（＝1＋2＋4＋7＋14）; 一个数小于其（除本身以外的）全部因子之和称之为 数，如 12（＜1＋2＋3＋4＋6); 一个数大于其（除本身以外的）全部因子之和称之为 数,10（＞1＋2＋5）. 若两个数中任一个数（除本身以外的）全部因子之和都等于另一个数则称为 数.,如220与284为亲和数.因为220的因子之和为（1＋2＋4＋5＋10＋11＋20＋22＋44＋55＋110＝）284，而284的因子和为（1＋2＋4＋71＋142＝）220 . 3.对形数的研究 毕达哥拉斯学派许多关于数的规律的发现，都是借助图形的直观分析而得到的.他们常把数以点的形式排成各种图形.如图: 由图知易1，1+2，1+2+3，1+2+3+4+…这些和数都是三角形数，第n个三角形数是 又如： 其中1，4，9，16，…是正方形数，第n个正方形数是n2 .由此易得,前n个奇数之和即为n的平方. 4.关于数学美的研究 毕达哥拉斯学派还认为，“美是和谐与比例”，他们认为，最美的图形在平面上是圆，在空间是球，整个地球、天体和宇宙是一个圆球，宇宙中的各种物体都作均匀的圆周运动.最完美的数是10，因为10＝1＋2＋3＋4，并将1，2，3，4称为四象. 在音乐研究中他们发现，如果一根弦是另一根弦长的两倍，那么两者发出的音就相差8度. 认为音乐的基本原则是数量原则，音乐节奏的和谐是由高低、长短、轻重各种不同的音调，按照一定数量比例组成的. 他们研究了一些美的比和比例关系，提出了算术平均值（以Ｍ表示）、几何平均值（以Ｇ表示）和调和平均值（以Ｈ表示）：对Ａ，Ｂ为两已知数， 他们发现，M∶G=G∶H， A∶H=M∶B，称前者为完全比例，后者为音乐比例.以此为出发点，毕达哥拉斯学派建立了他们的音乐理论.毕达哥拉斯把“美是和谐与比例”的科学美学思想用于音乐和天文学，并十分广泛地将其应用到建筑、雕刻、地学、生物学、医学等领域. 5.关于勾股定理的研究 西方学者认为，有关直角三角形的“勾股定理”最早是由毕达哥拉斯学派发现的.据传，毕达哥拉斯学派为了庆祝这条定理的发现，特地宰了一百头牛来祭神，感谢科学艺术女神缪斯对他们的垂青，因此有人诙谐地将这个定理称为“ 定理”. 但迄今为止并没有毕达哥拉斯发现和证明这一定理的直接证据. 毕达哥拉斯数的探讨: 通过分析正方形数的图形毕达哥拉斯得到 : 这就是直角三角形整数边长的公式.当m=1，2，3，4，…时可得满足直角三角形边长的整数组为3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；等等. 6.不可公度的发现 毕达哥拉斯学派相信：在几何上相当于对于任何两条给定的线段，总能找到第三条线段作为 ... ...