广东省深圳市2013-2017年中考数学试题分类解析汇编专题6：压轴题

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 深圳市2013-2017年中考数学试题分类解析汇编 专题6：压轴题 一、选择题 1．（2013·深圳）如图，已知l1∥l 2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，则sinα的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】过点A作AD⊥l1于D，过点B作BE⊥l1于E，根据同角的余角相等求出∠CAD=∠BCE，然后利用“角角边”证明△ACD和△CBE全等，根据全等三角形对应边相等可得CD=BE，然后利用勾股定理列式求出AC，再根据等腰直角三角形斜边等于直角边的 倍求出AB，然后利用锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．21世纪教育网版权所有 【解答】解：如图，过点A作AD⊥l1于D，过点B作BE⊥l1于E，设l1，l2，l3间的距离为1， ∵∠CAD+∠ACD=90°， ∠BCE+∠ACD=90°， ∴∠CAD=∠BCE， 在等腰直角△ABC中，AC=BC， 在△ACD和△CBE中， ， ∴△ACD≌△CBE（AAS）， ∴CD=BE=1， 在Rt△ACD中，AC= = = ， 在等腰直角△ABC中，AB= AC= × = ， ∴sinα= = ． 故选：D． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 　 2．（2015·深圳）如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③△GDE∽△BEF；④S△BEF= ．在以上4个结论中，正确的有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得A D=DF，∠A=∠GFD=90°，于是根据“HL”判定△ADG≌△FDG，再由GF+GB=GA+GB=12，EB=EF，△BGE为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出AG=4，BG=8，进而求出△BEF的面积，再抓住△BEF是等腰三角形，而△GED显然不是等腰三角形，判断③是错误的． 【解答】解：由折叠可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°， ∴∠DFG=∠A=90°， ∴△ADG≌△FDG，①正确； ∵正方形边长是12， ∴BE=EC=EF=6， 设AG=FG=x，则EG=x+6，BG=12﹣x， 由勾股定理得：EG2=BE2+BG2， 即：（x+6）2=62+（12﹣x）2， 解得：x=4 ∴AG=GF=4，BG=8，BG=2AG，②正确； BE=EF=6，△BEF是等腰三角形，易知△GED不是等腰三角形，③错误； S△GBE= ×6×8=24，S△BEF= S△GBE= = ，④正确． 故选：C． 【点评】本题综合性较强，考查了翻折变换的性 质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度．21cnjy.com 　 3．（2017·深圳）如图，正方形ABCD的边长是3，BP=CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2=OE OP；③S△AOD=S四边形OECF；④当BP=1时，tan∠OAE= ，其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4所有 【分析】由四边形ABCD是正方形，得到AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，根据全等三角形的性质得到∠P=∠Q，根据余角的性质得到AQ⊥DP；故①正确；根据相似三角形的性质得到AO2=OD OP，由OD≠OE，得到OA2≠OE OP；故②错误；根据全等三角形的性质得到CF=BE，DF=CE，于是得到S△ADF﹣S△DFO=S△DCE﹣S△DOF，即S△AOD=S四边形OECF；故③正确；根据相似三角形的性质得到BE= ，求得QE= ，QO= ，OE= ，由三角函数的定义即可得到结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°， ∵BP=CQ， ∴AP=BQ， 在△DAP与△ABQ中， ， ∴△DAP≌△ABQ， ∴∠P=∠Q， ∵∠Q+∠QAB=90°， ∴∠P+∠QAB=90°， ∴∠AOP=90°， ∴AQ⊥DP； 故①正确； ∵∠DOA=∠AOP=90°，∠ADO+∠P=∠ADO+∠DAO=90°， ∴∠DAO=∠P， ∴△DAO∽△APO， ∴ ， ∴AO2=OD OP， ∵AE＞AB， ∴AE＞ ... ...