2018年高考数学热点难点突破技巧第06讲导数中的双参数问题的处理

高中数学热点难点突破技巧第06讲： 导数中的双参数问题的处理 【知识要点】 对于导数中的单参数问题（零点问题、恒成立问题和存在性问题），大家解答的比较多，一般利用分离参数和分类讨论来分析解答. 对于双参数这些问题，大家如何处理呢？一般利用下面分离次参法和反客为主法两种方法处理. 【方法讲评】 方法一 分离次参法 使用情景 不等式中含有两个参数（主参数和次参数）和一个自变量，并且次参数比较容易分离. 解题步骤 一般先分离次参，变成单参数的问题处理. 【例1】已知函数． （1）若函数与函数在点处有共同的切线，求的值； （2）证明：； （3）若不等式对所有，都成立，求实数的取值范围． 【解析】（1），，， 与在点处有共同的切线， ，即， 设，， 故在上是增函数，在上是减函数，故， ； （3）由题得不等式对所有的，都成立， 因为，所以，所以，即 所以，所以 【点评】对于不等式，里面有两个参数和一个自变量，形式比较复杂，所以我们可以想到转化和化归的思想，想方法把双参数变成单参数，这个方法就是分离参数. 由于题目求的是的范围，所以我们称是主参数，是次参数.第（3）问首先分离次参，最后得到了的取值范围，因此这种方法可以称为“分离次参法”. 【反馈检测1】已知，设函数. （1）存在，使得是在上的最大值，求的取值范围； （2）对任意恒成立时，的最大值为1，求的取值范围. 方法二 反客为主法 使用情景 含有两个参数和一个自变量，但是次参数系数有正有负，不便分离. 解题步骤 把次参数看成自变量，把自变量看成参数，构造一次函数解答. 【例2】已知函数．若不等式对所有，都成立，求实数的取值范围． 因为，所以 所以 令 所以函数在上是增函数，在上是减函数， 所以 所以 综合得. 【点评】（1）在中，是自变量，要求的范围，所以是主参，是次参.（2）对于不等式，由于，有正有负，不便分离次参，所以我们要构造一次函数反客为主，中把次参看成自变量，把看作参数，利用一次函数的性质分析解答.（3）一次函数在上恒成立，只须满足.(4)对于“分离次参”的题目，也可以利用反客为主的方法解答. 【反馈检测2】已知函数，，，. （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）对于任意，任意，总有，求的取值范围. 【反馈检测3】已知函数. （1）当时，解关于的不等式； （2）若对任意及时，恒有成立，求实数的取值范围. 高中数学热点难点突破技巧第06讲： 导数中的双参数问题的处理参考答案 【反馈检测1答案】（1）；（2） . ③当时，在单调递增，在递减，在单调递增， ∴即，∴， ④当时， 在单调递增，在单调递减，满足条件， 综上所述：时，存在，使得是在上的最大值. （2）对任意恒成立， 即对任意恒成立， 因为的最大值为1， 所以, 所以 ，， 恒成立， 由于，则， 当时，，则，若，则在上递减，在上递增，则，∴在上是递增的函数. ∴，满足条件，∴的取值范围是. 【反馈检测2详细解析】（Ⅰ）则 当时，恒成立，即递减区间为，不存在增区间； 当时，令得，令得， 递减区间为，递增区间； 综上：当时，递减区间为，不存在增区间； 当时，递减区间为，递增区间； （Ⅱ）令，由已知得只需即 若对任意，恒成立，即 令，则 设，则 ∴在递减，即 ∴在递减∴即 的取值范围为． 【反馈检测3答案】（Ⅰ）（Ⅱ） （2）由题意知对任意及时， 恒有成立，等价于， 当时，由得， 因为，所以， 从而在上是减函数， 所以，所以，即， 因为，所以，所以实数的取值范围为. ... ...