21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 基本不等式 【考点梳理】 1．基本不等式≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b. 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)； (2)＋≥2(a，b同号且不为零)； (3)ab≤2(a，b∈R)； (4)2≤(a，b∈R)． 3．算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则 (1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)． (2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)． 【考点突破】 考点一、利用基本不等式求最值 【例1】(1)若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为( ) A. B．2 C．2 D．4 (2)已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是_____． [答案] (1)C (2)3 [解析] (1)由＋＝知a>0，b>0，所以＝＋≥2，即ab≥2， 当且仅当即a＝，b＝2时取“＝”，所以ab的最小值为2. (2)由x2＋2xy－3＝0得y＝＝－x，则2x＋y＝2x＋－x＝＋≥2＝3，当且仅当x＝1时，等号成立，所以2x＋y的最小值为3. 【类题通法】 1.利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”． 2．在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式． 【对点训练】 1．已知a>0，b>0，且2a＋b＝1，若不等式＋≥m恒成立，则m的最大值等于( ) A．10 B．9 C．8 D．7 [答案] B [解析]∵＋＝＋＝4＋＋＋1＝5＋2≥5＋2×2＝9，当且仅当a＝b＝时取等号．又＋≥m，∴m≤9，即m的最大值等于9，故选B. 2．已知实数m，n满足m·n>0，m＋n＝－1，则＋的最大值为_____． [答案]－4 [解析]∵m·n>0，m＋n＝－1，∴m<0，n<0， ∴＋＝－(m＋n) ＝－≤－2－2＝－4， 当且仅当m＝n＝－时，＋取得最大值－4. 考点二、利用基本不等式证明不等式 【例2】已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证： (1)＋＋≥8； (2)≥9. [解析]证明：(1)＋＋＝2， ∵a＋b＝1，a>0，b>0， ∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4， ∴＋＋≥8(当且仅当a＝b＝时等号成立). (2)法一：∵a>0，b>0，a＋b＝1， ∴1＋＝1＋＝2＋，同理1＋＝2＋， ∴＝ ＝5＋2≥5＋4＝9， ∴≥9(当且仅当a＝b＝时等号成立). 法二：＝1＋＋＋， 由(1)知，＋＋≥8， 故＝1＋＋＋≥9. 【类题通法】 1.“1”的代换是解决问题的关键，代换变形后能使用基本不等式是代换的前提，不能盲目变形． 2．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式必须是有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果，必要时，也需要运用“拆、拼、凑”的技巧，同时应注意多次运用基本不等式时等号能否取到． 【对点训练】 设a，b均为正实数，求证：＋＋ab≥2. [解析]证明：由于a，b均为正实数， 所以＋≥2＝， 当且仅当＝，即a＝b时等号成立， 又因为＋ab≥2＝2， 当且仅当＝ab时等号成立， 所以＋＋ab≥＋ab≥2， 当且仅当即a＝b＝时取等号. 考点三、基本不等式的实际应用 【例3】运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元． (1)求这次行车总费用y关于x的表达式； (2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． [解析] (1)设所用时间为t＝(h)， y＝×2×＋14×，x∈[50,100]. 所以这次行车总费用y关于x的表达式是 y＝＋x，x∈. (或y＝＋x，x∈). (2)y＝＋x≥26 ， 当且仅当＝x， 即x＝18，等号成 ... ...
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