2018高考数学考点突破--06数学归纳法及其应用（教师版+学生版）

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 数学归纳法及其应用 【考点梳理】 1.数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立. 2.数学归纳法的框图表示 【考点突破】 考点一、用数学归纳法证明等式 【例1】用数学归纳法证明： ＋＋＋…＋＝(n∈N*). [解析]证明：(1)当n＝1时， 左边＝＝， 右边＝＝， 左边＝右边，所以等式成立. (2)假设n＝k(k∈N*)时等式成立，即有 ＋＋＋…＋＝， 则当n＝k＋1时，＋＋＋…＋＋ ＝＋＝ ＝＝＝. 所以当n＝k＋1时，等式也成立， 由(1)(2)可知，对于一切n∈N*等式都成立. 【类题通法】 1．用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少. 2．由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法. 【对点训练】 求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N*). [解析]证明：(1)当n＝1时，等式左边＝2，右边＝2，故等式成立； (2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立， 即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)， 那么当n＝k＋1时， 左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k＋1) ＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(2k＋1)(2k＋2) ＝2k·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)·2 ＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)， 所以当n＝k＋1时等式也成立. 根据(1)(2)可知，对所有n∈N*等式成立. 考点二、用数学归纳法证明不等式 【例2】等比数列{an}的前n项和为Sn.已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b>0，且b≠1，b，r均为常数)的图象上. (1)求r的值； (2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N*). 证明：对任意的n∈N*，不等式··…·>成立. [解析] (1)解　由题意，Sn＝bn＋r， 当n≥2时，Sn－1＝bn－1＋r， 所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)， 由于b>0，且b≠1，所以n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列，又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，＝b，即＝b，解得r＝－1. (2)证明　由(1)知an＝2n－1，因此bn＝2n(n∈N*)，所证不等式为··…·>. ①当n＝1时，左式＝，右式＝， 左式>右式，所以结论成立. ②假设n＝k时结论成立，即··…·>， 则当n＝k＋1时，··…··>·＝， 要证当n＝k＋1时结论成立， 只需证≥， 即证≥， 由基本不等式可得 ＝≥成立， 故≥成立，所以当n＝k＋1时，结论成立. 根据①②可知，n∈N*时， 不等式··…·>成立. 【类题通法】 应用数学归纳法证明不等式应注意的问题 1．当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法. 2．用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法、构造函数法等证明方法. 【对点训练】 求证：＋＋…＋0)， 则f′(x)＝>0，∴f(x)在(0，＋∞)上递增， ∴f(x)>f(0)＝0，∵>0， ∴f>0，即ln－>0， 即ln－>0， ∴ln(k＋2)－ln(k＋1)－>0，即ln(k＋1)＋