2018高考数学（理）专题突破--19导数与函数零点、不等式证明、恒成立问题(教师版+学生版）

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 导数与函数零点、不等式证明、恒成立问题 【考点梳理】 1.利用导数研究函数的零点 函数的零点、方程的实根、函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的变化趋势，数形结合求解. 2.三次函数的零点分布 三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当x→∞时，函数值也趋向∞，只要按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即可.存在两个极值点x1，x2且x10 两个 f(x1)＝0或者f(x2)＝0 三个 f(x1)＞0且f(x2)＜0 a＜0(f(x1)为极小值，f(x2)为极大值) 一个 f(x1)>0或f(x2)＜0 两个 f(x1)＝0或者f(x2)＝0 三个 f(x1)＜0且f(x2)＞0 3.利用导数解决不等式问题 (1)利用导数证明不等式. 若证明f(x)g(x)对一切x∈I恒成立 I是f(x)>g(x)的解集的子集 [f(x)－g(x)]min>0(x∈I). ② x∈I，使f(x)>g(x)成立 I与f(x)>g(x)的解集的交集不是空集 [f(x)－g(x)]max>0(x∈I). ③对 x1，x2∈I使得f(x1)≤g(x2) f(x)max≤g(x)min. ④对 x1∈I， x2∈I使得f(x1)≥g(x2) f(x)min≥g(x)min. 【题型突破】 题型一、利用导数研究函数的零点(方程的根) 【例1】已知a∈R，函数f(x)＝ex－ax(e＝2.718 28…是自然对数的底数). (1)若函数f(x)在区间(－e，－1)上是减函数，求实数a的取值范围； (2)若函数F(x)＝f(x)－(ex－2ax＋2ln x＋a)在区间内无零点，求实数a的最大值. 【解析】(1)由f(x)＝ex－ax，得f′(x)＝ex－a且f′(x)在R上递增. 若f(x)在区间(－e，－1)上是减函数，只需f′(x)≤0恒成立. 因此只需f′(－1)＝e－1－a≤0，解之得a≥. 又当a＝时，f′(x)＝ex－≤0当且仅当x＝－1时取等号. 所以实数a的取值范围是. (2)法一　由已知得F(x)＝a(x－1)－2ln x，且F(1)＝0， 则F′(x)＝a－＝＝，x>0. ①当a≤0时，F′(x)<0，F(x)在区间(0，＋∞)上单调递减， 结合F(1)＝0知，当x∈时，F(x)>0. 所以F(x)在内无零点. ②当a>0时，令F′(x)＝0，得x＝. 若≥时，即a∈(0，4]时，F(x)在上是减函数. 又x→0时，F(x)→＋∞. 要使F(x)在内无零点，只需F＝－－2ln≥0，则04时，则F(x)在上是减函数，在上是增函数. ∴F(x)min＝F＝2－a－2ln， 令φ(a)＝2－a－2ln，则φ′(a)＝－1＋＝<0. ∴φ(a)在(4，＋∞)上是减函数，则φ(a)<φ(4)＝2ln 2－2<0. 因此F<0，所以F(x)在x∈内一定有零点，不合题意，舍去. 综上，函数F(x)在内无零点，应有a≤4ln 2，所以实数a的最大值为4ln 2. 法二　当a≤0时，同法一. 当a>0时，x∈，F′(x)<0；x∈， F′(x)>0. 所以F(x)在上单调递减，在上单调递增. 因此F(x)min＝F. ①若≥1，即0F(1)＝0，所以F(x)在内无零点. ②若<1，即a>2时，F(x)min＝F≤F(1)＝0. 要使函数F(x)在内无零点， 只需F＝－－2ln≥0， 则2