21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 函数的单调性与最值 【考点梳理】 1．增函数、减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I，如果对于任意x1，x2∈D，且x1＜x2，则都有： (1)f(x)在区间D上是增函数 f(x1)＜f(x2)； (2)f(x)在区间D上是减函数 f(x1)＞f(x2)． 2．单调性、单调区间的定义 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 3．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 ①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M ①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M是y＝f(x)的最大值 M是y＝f(x)的最小值 【考点突破】 考点一、函数单调性的判断 【例1】(1)函数f(x)＝log2(x2－1)的单调递减区间为_____． (2)试讨论函数f(x)＝x＋(k＞0)的单调性． [答案] (1)(－∞，－1) [解析] (1) 由x2－1＞0得x＞1或x＜－1，即函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 令t＝x2－1，因为y＝log2t在t∈(0，＋∞)上为增函数， t＝x2－1在x∈(－∞，－1)上是减函数，所以函数f(x)＝log2(x2－1)的单调递减区间为(－∞，－1)． (2)法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取x1，x2，令0＜x1＜x2，那么f(x2)－f(x1)＝－＝(x2－x1)＋k＝(x2－x1). 因为0＜x1＜x2，所以x2－x1＞0，x1x2＞0. 故当x1，x2∈(，＋∞)时，f(x1)＜f(x2)， 即函数在(，＋∞)上单调递增. 当x1，x2∈(0，)时，f(x1)＞f(x2)， 即函数在(0，)上单调递减． 考虑到函数f(x)＝x＋(k＞0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(－∞，－)上单调递增，在(－，0)上单调递减． 综上，函数f(x)在(－∞，－)和(，＋∞)上单调递增，在(－，0)和(0，)上单调递减. 法二：f′(x)＝1－. 令f′(x)＞0得x2＞k，即x∈(－∞，－)或x∈(，＋∞)，故函数的单调增区间为(－∞，－)和(，＋∞). 令f′(x)＜0得x2＜k，即x∈(－，0)或x∈(0，)，故函数的单调减区间为(－，0)和(0，). 故函数f(x)在(－∞，－)和(，＋∞)上单调递增，在(－，0)和(0，)上单调递减. 【类题通法】 1.利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后应注意差式的分解变形要彻底． 2．利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确． 【对点训练】 1．下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是( ) A．y＝x3 B．y＝ C．y＝ D．y＝x [答案] C [解析] 选项A，B中函数在定义域内均为单调递增函数，选项D为在定义域内为单调递减函数，选项C中，设x1＜x2(x1，x2≠0)，则y2－y1＝－＝，因为x1－x2＜0，当x1，x2同号时x1x2＞0，－＜0，当x1，x2异号时x1x2＜0，－＞0，所以函数y＝在定义域上不是单调函数，故选C. 2．函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间是( ) A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(2，＋∞) D．(－∞，－2) [答案] D [解析] 由x2－4＞0得x＞2或x＜－2，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为y＝logt在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t＝x2－4的单调递减区间，可知所求区间为(－∞，－2)． 考点二、利用函数的单调性求最值 【例2】已知f(x)＝，x∈[1，＋∞)，且a≤1. (1)当a＝时，求函数f(x)的最小值； (2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围． [解析] (1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2，f′(x)＝1－＞0，x∈[1，＋∞)， 即f(x)在[1，＋∞)上是增函数，∴f(x)min＝f(1)＝1＋＋2＝. (2)f(x)＝x＋＋2，x∈[1，＋∞)． 法一：①当a≤0时，f(x)在[1，＋∞)内为增函数． f(x)min＝f(1)＝a＋3. 要使f(x)＞0在x∈[1，＋∞ ... ...
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