考点二十三 二元一次不等式（组）与简单的线性规划 知识梳理 1．二元一次不等式(组)表示的平面区域 (1)直线l：Ax＋By＋C＝0把直角坐标平面内的所有点分成三类： 在直线Ax＋By＋C＝0上的点； 在直线Ax＋By＋C＝0上方区域内的点； 在直线Ax＋By＋C＝0下方区域内的点． (2) 二元一次不等式组表示的平面区域：不等式组中各个不等式表示平面区域的公共区域． 2．确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法 (1)基本方法：“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域． (2)关于边界问题：当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点． 3．线性规划中的基本概念 名称 定义 约束条件 变量x、y满足的一次不等式组 目标函数 欲求最大值或最小值所涉及的变量x、y的线性函数 可行域 约束条件所表示的平面区域称为可行域 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规 划问题 在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题 4．利用线性规划求最值的基本步骤 (1)在平面直角坐标系内作出可行域． (2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形． (3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值. 典例剖析 题型一 二元一次不等式（组）表示的平面区域 例1 (1) 已知点P(3，－1)和A(－1,2)在直线ax＋2y－1＝0的两侧，则实数a的取值范围为_____． (2) 不等式组表示的平面区域是_____．(填序号) ② ③ ④ 答案 (1) (－∞，1)∪(3，＋∞) (2) ② 解析 (1)∵P、A在直线ax＋2y－1＝0的两侧，∴(3a－3)(－a＋3)<0，得a>3或a<1. (2)把(0,0)代入第一条直线，满足不等式，所以在x－3y＋6＝0的下方区域（含边界），把(0,0)代入第二条直线，不满足 x－y＋2＜0，所以在直线x－y＋2＝0的上方区域（不含边界），取二者公共区域，答案为②. 变式训练 求不等式组表示的平面区域的面积． 解析 不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC的面积即为所求． 求出点A，B，C的坐标分别为A(1,2)，B(2,2)，C(3,0)，则△ABC的面积为S＝×(2－1)×2＝1. 解题要点 判断在直线哪一侧，一般取特殊点，如果直线不过原点，就取原点判断；若直线过原点，就另取点(1,0)或(0,1)等判断. 题型二 求线性目标函数最值问题 例2 （2015山东文）若x，y满足约束条件则z＝x＋3y的最大值为_____． 答案 7 解析 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．∵z＝x＋3y， ∴y＝－x＋. 将直线y＝－x向上平行移动，当经过点C时，z取得最大值，由方程组 得∴C(1,2)， ∴z的最大值为zmax＝1＋3×2＝7. 变式训练 （2015新课标Ⅰ文）若x，y满足约束条件则z＝3x＋y的最大值为_____． 答案 4 解析 x,y满足条件的可行域如图所示的阴影部分,当z＝3x＋y过A(1,1)时有最大值，z＝4. 解题要点 求z＝ax＋by(ab≠0)的最值方法 将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值． (1)当b>0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值； (2)当b<0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值． 准确做出可行域，是解决此类问题的关键. 题型三 利用线性规划求解非线性问题最值 例3 变量x，y满足 (1)设z＝，求z的最小值； (2)设z＝x2＋y2，求z的取值范围． 解析 由约束条件作出(x，y)的可行域如图阴影部分所示． 由解得A. 由解得C(1，1)． 由解得B(5，2)． (1)∵z＝＝， ∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率． 观察图形可知zmin＝kOB＝. (2)z ... ...
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