考点二十九 等比数列 知识梳理 1．等比数列的有关概念 (1)定义： 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，＝q． 说明：等比数列中没有为0的项，其公比也不为0. (2)等比中项： 如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项?a，G，b成等比数列?G2＝ab?G＝±．21*cnjy*com 说明：任何两个实数都有等差中项，但与等差中项不同，只有同号的两个数才有等比中项．两个同号的数的等比中项有两个，它们互为相反数．21教育名师原创作品 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1qn－1． (2)前n项和公式：Sn＝ 3．等比数列的性质 已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．(m，n，p，q，r，k∈N*) (1)若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝ap·aq＝a； (2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列； (3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)． 典例剖析 题型一 等比数列中基本量解题 例1 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a3＝，S3＝，则公比q＝_____. 答案 1或－ 解析 设数列的公比为q，∵a3＝，S3＝，∴ 两式相除得＝3，即2q2－q－1＝0. ∴q＝1或q＝－. 变式训练 在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81，则an＝_____． 答案 3n－1 解析 设{an}的公比为q，依题意得解得 因此an＝3n－1. 解题要点 在等比数列中，基本量是a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)使问题得解．21·cn·jy·com 题型二 利用等比数列的性质解题 例2 已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10等于_____. 答案 －7 解析 方法一 由题意得 ∴或∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7. 方法二 由，解得或 ∴或 ∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7. 变式训练 在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，则a41a42a43a44＝_____. 答案 1 024 解析 (2)方法一 a1a2a3a4＝a1·a1q·a1q2·a1q3＝a·q6＝1，① a13a14a15a16＝a1q12·a1q13·a1q14·a1q15＝a·q54＝8，② ②÷①：＝q48＝8?q16＝2， 又a41a42a43a44＝a1q40·a1q41·a1q42·a1q43 ＝a·q166＝a·q6·q160 ＝(a·q6)·(q16)10＝1·210＝1 024. 方法二 由性质可知，依次4项的积为等比数列，设公比为p， 设T1＝a1·a2·a3·a4＝1， T4＝a13·a14·a15·a16＝8， ∴T4＝T1·p3＝1·p3＝8?p＝2. ∴T11＝a41·a42·a43·a44＝T1·p10＝210＝1 024. 解题要点 在数列问题中，要特别关注项数的特征，等比数列中项数和相等，则积相等，即“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，巧妙利用性质可以减少运算量，提高解题速度． 题型三 等比数列的前n项和及其性质 例3 若等比数列{an}满足a1＋a4＝10，a2＋a5＝20，则{an}的前n项和Sn＝_____． 答案 (2n－1) 解析 由题意a2＋a5＝q(a1＋a4)，得20＝q×10，故q＝2，代入a1＋a4＝a1＋a1q3＝10，得9a1＝10，得a1＝.21世纪教育网版权所有 故Sn＝＝(2n－1)． 变式训练 已知数列{an}满足2an＋1＋an＝0，a2＝1，则数列{an}的前10项和S10为_____. 答案 (2－10－1) 解析 ∵2an＋1＋an＝0，∴＝－. 又a2＝1，∴a1＝－2，∴{an}是首项为－2，公比为q＝－的等比数列， ∴S10＝＝＝(2－10－1). 例4 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6∶S3＝1∶2，则 S9∶S3等于_____. 答案 3∶4 解析 由等比数列的性质知S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，于是(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)， 将S6＝S3代入得＝. 变式训练 等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若＝，则公比q＝_____. 答案 － 解析 由＝，a1＝－1知公比q≠1， 则可得＝－. 由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5， ... ...
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