“点差法”在解析几何题中的应用

“点差法”在解析几何题中的应用 与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。 解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。 若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为) , 分别为，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。 此法有着不可忽视的作用，其特点是巧代斜率。 求弦中点的轨迹方程 例1 已知椭圆，求斜率为的平行弦中点的轨迹方程. 解 设弦的两个端点分别为，的中点为. 则，（1），（2） 得：， . 又，. 弦中点轨迹在已知椭圆内，所求弦中点的轨迹方程为（在已知椭圆内）. 例2 直线（是参数）与抛物线的相交弦是，则弦的中点轨迹方程是 . 解 设，中点，则. ，过定点，. 又，（1），（2） 得：， . 于是，即. 弦中点轨迹在已知抛物线内，所求弦中点的轨迹方程为（在已知抛物线内）. 求曲线方程 例3 已知的三个顶点都在抛物线上，其中，且的重心是抛物线的焦点，求直线的方程. 解 由已知抛物线方程得.设的中点为，则三点共线，且，分所成比为，于是， 解得，. 设，则. 又，（1），（2） 得：，. 所在直线方程为，即. 例4 已知椭圆的一条准线方程是，有一条倾斜角为的直线交椭圆于两点，若的中点为，求椭圆方程. 解 设，则，且，（1），（2） 得：，， ，，（3） 又，，（4） 而，（5） 由（3），（4），（5）可得， 所求椭圆方程为. 求直线的斜率 例5 已知椭圆上不同的三点与焦点的距离成等差数列.（1）求证：；（2）若线段的垂直平分线与轴的交点为，求直线的斜率.21世纪教育网版权所有 （1）证 略. （2）解 ，设线段的中点为. 又在椭圆上，，（1），（2） 得：， . 直线的斜率，直线的方程为. 令，得，即，直线的斜率. 确定参数的范围 例6 若抛物线上存在不同的两点关于直线对称，求实数的取值范围. 解 当时，显然满足. 当时，设抛物线上关于直线对称的两点分别为，且的中点为，则，（1），（2） 得：，， 又，. 中点在直线上，，于是. 中点在抛物线区域内 ，即，解得. 综上可知，所求实数的取值范围是. 证明定值问题 例7 已知是椭圆不垂直于轴的任意一条弦，是的中点，为椭圆的中心.求证：直线和直线的斜率之积是定值. 证明 设且， 则，（1），（2） 得：， ，. 又，，（定值）. 处理存在性问题 例8 已知双曲线，过能否作直线，使与双曲线交于，两点，且是线段的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.21教育网 解 假设这样的直线存在，设的坐标分别为，则，，又，（1），（2） 得：， 的斜率 又直线过三点，的方程为 ，即. 但若将代入整理得方程，而此方程无实数解，所以满足题设的直线不存在. ... ...