2017_2018学年高中数学第一章导数及其应用学案（打包7套）新人教A版选修2_2 (1)

1.1 变化率与导数 第1课时　变化率问题、导数的概念 [核心必知] 1．预习教材，问题导入 根据以下提纲，预习教材P2～P6的内容，回答下列问题． (1)气球膨胀率 气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝πr3，如果将半径r表示为体积V的函数，那么r(V)＝. ①当空气容量V从0增加到1 L时，气球的平均膨胀率是多少？ 提示：≈0.62(dm/L)． ②当空气容量V从1 L增加到2 L时，气球的平均膨胀率是多少？ 提示：≈0.16(dm/L)． ③当空气容量从V1 增加到V2时，气球的平均膨胀率又是多少？ 提示：． (2)高台跳水 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10. ①在0≤t≤0.5这段时间里，运动员的平均速度v是多少？ 提示：v＝＝4.05(m/s)． ②在1≤t≤2这段时间里，运动员的平均速度v是多少？ 提示：v＝＝－8.2(m/s)． ③在t1≤t≤t2这段时间里， 运动员的平均速度 v又是多少？ 提示：v＝． 2．归纳总结，核心必记 (1)函数的平均变化率 对于函数y＝f(x)，给定自变量的两个值x1和x2，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，我们把式子称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率． 习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝x2－x1，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝f(x2)－f(x1)．于是，平均变化率可表示为． (2)瞬时速度 ①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度． ②若物体运动的路程与时间的关系式是s＝f(t)，当Δt趋近于0时，函数f(t)在t0到t0＋Δt之间的平均变化率趋近于常数，我们就把这个常数叫做物体在t0时刻的瞬时速度． (3)导数的定义 一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是 ，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数， 记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝=． [问题思考] (1)设A(x1，f(x1))，B (x2，f(x2))是曲线y＝f(x)上任意不同的两点，则函数y＝f(x)的平均变化率＝＝表示什么？ 提示：表示割线AB的斜率． (2)Δx，Δy的值一定是正值吗？平均变化率是否一定为正值？ 提示：Δx，Δy可正可负，Δy也可以为零，但Δx不能为0.平均变化率可正、可负、可为零． (3)在高台跳水中，如何求在[1，1＋Δt]这段时间内的平均速度v？当Δt趋近于0时，平均速度v有什么样的变化趋势？ 提示：＝当Δt趋近于0时，平均速度v即为t＝1时的瞬时速度． (4)平均变化率与瞬时变化率有什么区别和联系？ 提示：①区别：平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢； ②联系：当Δx趋于0时，平均变化率趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值． [课前反思] (1)平均变化率的定义是：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　； (2)什么是函数的瞬时变化率？它与平均变化率有什么区别和联系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　； (3)导数的定义是什么？如何表示？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　； (4)平均速度与瞬时速度的定义是什么？它们有什么区别和联系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 　. [思考1]　平均变化率可用式子表示，其中Δy、Δx的意义是什么？ 提示：Δy、Δx分别表示函数值和自变量的变化量． [思考2]　如何求函数y＝f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率？ 提示：平均变化率为． ?讲一讲 1．已知函数f(x)＝3x2＋5，求f(x)： (1)从0.1到0.2的平均变化率； (2)在区间[x0，x0＋Δx]上 ... ...