第18题 几类特殊函数（对勾函数、绝对值函数等） I．理论基础·解题原理 （I）对勾函数 对勾函数的定义 形如的函数，叫做对勾函数． 对勾函数的图象与性质 定义域 值域 当时，（当且仅当，即时取等号）． 当时，（当且仅当，即时取等号）． 函数的值域为． 奇偶性 由于双勾函数定义域关于原点对称，，则对勾函数为奇函数． 单调性 由于，令，解得或，令，解得或，所以函数在上为增函数，在上为减函数，在上为减函数，在上为增函数．21世纪教育网版权所有 渐近线 当时，，当时，，说明函数的的图象在第一、第三象限． 当时，，说明函数在第一象限的图象在直线的上方，当时，，说明函数在第三象限的图象在直线的下方．21教育网 双勾函数就是以轴和直线为渐近线的双曲线． 特别时，，函数图象如下图所示： （II）绝对值函数 一、绝对值函数的定义：形如的函数，叫做绝对值函数． 含绝对值的函数本质上是分段函数,往往需要先去绝对值再结合函数图像进行研究,由于去绝对值函数大多要涉及到分类讨论,对能力要求较高,故备受高考命题者青睐,高考常考的主要有以下3类：1．形如的函数,研究此类函数往往结合图像,可以看成由的图像在轴上方部分不变,下方部分关于轴对称得到；2．形如的函数,此类函数是偶函数,因此可以先研究的情况,的情况可以根据对称性得到；3．函数解析式中部分含有绝对值,如,等,这种函数是普通的分段函数,一般先去绝对值,再结合图像进行研究．21cnjy.com 绝对值函数的图象与性质 定义域：R； 值域：； 单调性：函数在上为减函数，在上为增函数． 特别时，，图象如下图所示 （III）取整函数 取整函数的定义 若x为实数，表示不超过的最大整数，则函数叫做取整函数．举例如下：等． IV．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】 这类试题在考查题型上，可以是选择题或填空题，也可以是解答题，难度较大，往往与函数的单调性、奇偶性、周期性及对称性有联系，主要考查函数的性质的应用等．21·cn·jy·com 【技能方法】 解决此类问题一般要把先求函数的定义域，在定义域内研究函数的相关性质．最好先画出函数的图象，利用数形结合思想，解决相应问题． 【易错指导】 注意定义域先行原则，必须先求出函数的定义域，在定义域内解决相应问题． V．举一反三·触类旁通 考向1 对勾函数 【例1】【2018河北唐山模拟】已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵，∴，令，则为奇函数，则，所以，有，故选A． 考点：函数值、函数的奇偶性． 【例2】【2018云南省师大附中模拟】若函数在区间上单调递减，则实数t的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性． 【例3】【2017山西四校联考】若函数的导函数在区间（1，2）上有零点，则在下列区间上单调递增的是2·1·c·n·j·y A． B． C． D． 【解析】，，显然，函数的导函数在区间（1，2）上有零点，，为增函数，只需，故选D． 【名师点睛】1．要结合图象，理解对勾函数的各种性质，单调性，对称性，奇偶性等． 2．通过对勾函数的研究，要明确均值不等式的使用条件． 3．对渐近线的认识，应进一步加深，我们可以理解为，函数图象无限靠近直线，且总在直线的一侧． 【例4】【2018吉林百校联盟高三九月联考】已知函数函数，则下列说法错误的是（ ） A．若，则函数无零点 B．若，则函数有零点 C．若，则函数有一个零点 D．若，则函数有两个零点 【答案】A 【解析】作出函数的图象如图所示： 观察可知：当时，函数有一个零点，故A错误．故选A． 【跟踪练习】 1．若函数，则下列结论正确的是（ ） 2．关于函数有下列命题： （1）其图象关于y轴对称； （2）函数f(x)在上单调递增，在上单调递减； （3）函数f(x)的最小值为； （4）函数f(x) ... ...
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