第三章 函数、导数及其应用 第一节函数及其表示 1．函数与映射的概念 函数 映射 两集合 A，B 设A，B是两个非空的数集 设A，B是两个非空的集合 对应 关系 f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射 记法 y＝f(x)，x∈A 对应f：A→B是一个映射 2．函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域： 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集． (2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系． (3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． (4)函数的表示法 表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法． 3．分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数． [小题体验] 1．(2018·台州模拟)下列四组函数中，表示相等函数的是( ) A．f(x)＝x2，g(x)＝ B．f(x)＝，g(x)＝ C．f(x)＝1，g(x)＝(x－1)0 D．f(x)＝，g(x)＝x－3 解析：选B 选项A中，f(x)＝x2与g(x)＝的定义域相同，但对应关系不同；选项B中，二者的定义域都为{x|x>0}，对应关系也相同；选项C中，f(x)＝1的定义域为R，g(x)＝(x－1)0的定义域为{x|x≠1}；选项D中，f(x)＝的定义域为{x|x≠－3}，g(x)＝x－3的定义域为R. 2．若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( ) 答案：B 3．(2018·金华调研)已知函数f(x)＝的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∪(?RN)＝( ) A．{x|x＜1} B．{x|x≥－1} C．? D．{x|－1≤x＜1} 解析：选A 因为函数f(x)＝的定义域为M＝{x|－1＜x＜1}， g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N＝{x|x＞－1}， 所以?RN＝{x|x≤－1}， M∪(?RN)＝{x|－1＜x＜1}∪{x|x≤－1}＝{x|x＜1}． 故选A. 4．已知f(x)＝3x3＋2x＋1，若f(a)＝2，则f(－a)＝_____. 解析：∵f(x)＝3x3＋2x＋1， ∴f(a)＋f(－a)＝3a3＋2a＋1＋3(－a)3＋2×(－a)＋1＝2， ∴f(－a)＝2－f(a)＝0. 答案：0 1．求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域． 2．分段函数无论分成几段，都是一个函数，不要误解为是“由几个函数组成”．求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论． [小题纠偏] 1．(2018·嘉兴模拟)已知函数f(x)＝则f＝_____，方程f(x)＝2的解为_____． 解析：f＝f＝f(－1)＝0. 当x>0时，log2x＝2，得x＝4； 当x≤0时，x2＋x＝2，得x＝－2或x＝1(舍去)． 所以f(x)＝2的解为－2或4. 答案：0 －2或4 2．已知f＝x2＋5x，则f(x)＝_____. 解析：令t＝， ∴x＝. ∴f(t)＝＋. ∴f(x)＝(x≠0)． 答案：(x≠0) [题组练透] 1．函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为( ) A．(0,1) B．[0,1] C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞) 解析：选C 由题意知，x2－x>0，即x<0或x>1. 则函数的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)，故选C. 2．(2018·金华模拟)若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是( ) A．(0,1) B．[0,1) C．[0,1)∪(1,4] D．[0,1] 解析：选A 根据题意解得0＜x＜1，故选A. 3．(2018·湖州模拟)若函数f(x)＝定义域为R，则实数a的取值范围为( ) A．[－3，－1] B．[－1,3] C．[1,3] D．[－3,1] 解析：选D 若函数f(x)＝ ... ...
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