2018年全国高中数学联赛（重庆赛区）预赛试题参考答案 一、填空题: 本大题共6小题，每小题8分，共48分，把答案填在横线上. 1.设集合与 恰有一个公共元素为， 则实数 . 答案： 解析：因为所以公共元素为 ，解得。 2. 从正九边形中任取三个顶点构成三角形， 则正九边形的中心在三角形内的概率为 . 21·cn·jy·com 答案： 解析：如图，正边形中包含中心的三角形有以下三种形状： 对于（1），有种情况；对于（2），有种情况；对于（3）；有种情况；故所求概率为 3.设，，，点是线段上的一个动点，，若，则实数的取值范围是_____. 答案： 解析：，则，， ，解得： ，因点是线段上的一个动点，所以，综上，满足条件的的取值范围是. 4.顶点为的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，是底面圆周上的点，是底面圆内的点，为底面圆圆心，，垂足为，，垂足为，且，为的中点，则当三棱锥的体积最大时，的长为_____. 答案：. 5.已知复数的模为，则的最小值为_____. 答案： 解：在复平面内，设、，为单位圆上的点，问题转化为求的最小值，设，其中 由于，必存在使，即等号可以取到. 6.在中，，则 . 答案： 解析：因为 所以 注意到： 故 . 二、解答题：本大题共4小题，第7、8题各16分，第9、10题各20分，共 72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.21cnjy.com 7.（满分16分）设是正整数的各位数字的乘积，求方程 的正整数解. 解：设是位正整数，若，则, ?矛盾.此时无解. ...... 4分2·1·c·n·j·y 若，则，此方程无整数解. ......8分 若，且，则矛盾 ?， ...... 12分 设，，解得， 综上，方程的解为. ...... 16分 8．(满分16分) 设, .证明：. 证明：由递推式得 所以 . 从而得 . ...... 4分 又 得数列单调递增, 所以. 特别地 . ...... 8分 由递推式可得.从而 . ...... 12分 由均值不等式及已证结论有 . 所以 特别地 故. ...... 16分 9．(满分20分) 设椭圆的左、右顶点为, 过右焦点作非水平直线与椭圆交于两点, 记直线的斜率分别为, 试证: 为定值, 并求此定值(用的函数表示).21世纪教育网版权所有 证明：设，代入椭圆方程得 ， 设 , 则 ，. ......5分 两式相除得 , . 由题意知 , . ........ 10分 从而 . . ......15分 因为 所以 . ......20分 (满分20分) 设函数 ()满足 求当时的最大值. 解：由题意知，解得 从而当时, . ......5分 因为时，从而 . .....10分 易知当 时 当 时 得 . ........ 15分 最后取,则. 故该函数满足题设条件且在上能取到最大值.因此的最大值为. ......20分 21教育网
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