坐标系与参数方程 第1课坐标系 [过双基] 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 2．极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标 ①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ. ②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ. ③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)． 3．极坐标与直角坐标的互化 设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为： 4．常见曲线的极坐标方程 圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程 ρ＝r(0≤θ<2π) 圆心为，半径为r的圆的极坐标方程 ρ＝2rsin θ(0≤θ<π) 过极点，倾斜角为α的直线的极坐标方程 θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R) 过点(a,0)，与极轴垂直的直线的极坐标方程 ρcos θ＝a 过点，与极轴平行的直线的极坐标方程 ρsin θ＝a(0<θ<π) 1．点P的直角坐标为(1，－)，则点P的极坐标为_____． 解析：因为点P(1，－)在第四象限，与原点的距离为2，且OP与x轴所成的角为－，所以点P的极坐标为. 答案： 2．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为_____． 解析：把圆ρ＝2cos θ的方程化为(x－1)2＋y2＝1知，圆的垂直于极轴的两条切线方程分别为x＝0和x＝2，从而得这两条切线的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2. 答案：θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2 3．(2017·北京高考)在极坐标系中，点A在圆ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0上，点P的坐标为(1,0)，则|AP|的最小值为_____． 解析：将圆的极坐标方程化为直角坐标方程为x2＋y2－2x－4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝1，圆心为(1,2)，半径r＝1.因为点P(1,0)到圆心的距离d＝＝2>1，所以点P在圆外，所以|AP|的最小值为d－r＝2－1＝1. 答案：1 4．(2017·天津高考)在极坐标系中，直线4ρcos＋1＝0与圆ρ＝2sin θ 的公共点的个数为_____． 解析：依题意，得4ρ＋1＝0， 即2ρcos θ＋2ρsin θ＋1＝0， 所以直线的直角坐标方程为2x＋2y＋1＝0. 由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ， 所以圆的直角坐标方程为x2＋y2＝2y， 即x2＋(y－1)2＝1， 其圆心(0,1)到直线2x＋2y＋1＝0的距离 d＝＝<1，则直线与圆相交， 故直线与圆的公共点的个数是2. 答案：2 5．在极坐标系中，过点A引圆ρ＝8sin θ的一条切线，则切线长为_____． 解析：点A的极坐标化为直角坐标为A(0，－1)， 圆ρ＝8sin θ的直角坐标方程为x2＋y2－8y＝0， 圆的标准方程为x2＋(y－4)2＝16， 点A与圆心C(0,4)的距离为|AC|＝5， 所以切线长为＝3. 答案：3 [清易错] 1．极坐标方程与直角坐标方程的互化易错用互化公式．在解决此类问题时考生要注意两个方面：一是准确应用公式，二是注意方程中的限制条件． 2．在极坐标系下，点的极坐标不唯一性易忽视． 注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)，(－ρ，π＋θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一点的坐标． 1．若圆C的极坐标方程为ρ2－4ρcos－1＝0，若以极点为原点，以极轴为x轴的正半轴建立相应的平面直角坐标系xOy，则在直角坐标系中，圆心C的直角坐标是_____． 解析：因为ρ2－4ρcos－1＝0，所以ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ－1＝0，即x2＋y2－2x－2y－1＝0，因此圆心坐标为(1，)． 答案：(1，) 2．圆ρ＝5cos θ－5sin θ的圆心的极坐标为_____． 解析：将方程 ρ＝5cos θ－5sin ... ...
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