第五单元 数列 第28讲 数列的概念与简单表示法 课前双击巩固 1.数列的有关概念 有关概念 定义 数列 按照 排列的一列数? 数列的项 数列中的 ? 数列的通项 数列{an}的第n项an 通项公式 数列{an}的第n项an与 之间的关系式? 前n项和 数列{an}中,Sn = ? 2.数列的表示法 表示法 定义 列表法 通过表格表示n与an的对应关系 图像法 用平面直角坐标系内的 y轴 一系列孤立的点表示? 公式法 通项公式 an= ? 递推公式 an+1= f(an) ;an+1=f(an, an-1) 3.数列的分类 分类原则 类型 满足条件 单调性 递增数列 n∈N* ? 递减数列 ? 常数列 an+1=an 周期性 周期数列 对n∈N*,存在正整数常数k, 使an+k = ? 其他标准 有界数列 存在正数M,使 ? 摆动数列 从第2项起,有些项大于它的前一项, 有些项小于它的前一项 4. an 与Sn 的关系 已知数列{an}的前n项和Sn ,则an= 常用结论 求数列的最大(小)项,一般可以利用数列的单调性,即用(n≥2,n∈N*)或(n≥2,n∈N*)求解,也可以转化为函数的最值问题或利用数形结合思想求解. 题组一 常识题 1.[教材改编] 已知数列的前几项为1,-,,-,则该数列的一个通项公式是 .? 2.[教材改编] 已知数列满足an=(n-λ)2n(n∈N*),若{an}是递增数列,则实数λ的取值范围是 .? 3.[教材改编] 在数列中,若a1=1,an=1+(n≥2),则a3= .? 题组二 常错题 ◆索引:忽视数列是特殊的函数,其自变量为正整数集N*或其子集{1,2,…,n};求数列前n项和Sn的最值时忽视项为零的情况;根据Sn求an时忽视对n=1的验证. 4.在数列-1,0,,,…,中,0.08是它的第 项.? 5.在数列{an}中,an=-n2+6n+7,当其前n项和Sn取最大值时,n= .? 6.已知Sn=2n+3,则an= .? 课堂考点探究 探究点一 根据数列的前几项求数列的通项公式 1 (1)数列的前几项为,3,,8,,…,则此数列的通项公式可能是 ( ) A.an= B.an= C.an= D.an= (2)数列,-,,-,…的一个通项公式为 ( ) A.an=(-1)n· B.an=(-1)n· C.an=(-1)n+1· D.an=(-1)n+1· (3)数列的前几项为7,77,777,7777,…,则此数列的通项公式可能是 .? [总结反思] 由数列前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略: (1)常用方法:观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.同时也可以使用添项、还原、分割等方法,转化为一个常见数列,通过常见数列的通项公式求得所给数列的通项公式. (2)具体策略:①分式中分子、分母的特征;②相邻项的变化特征,如递增时可考虑关于n为一次递增或以2n,3n等形式递增;③拆项后的特征;④各项的符号特征和绝对值的特征;⑤化异为同,对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系;⑥对于符号交替出现的情况,可用(-1)n或(-1)n+1,n∈N*来处理. 式题 (1)数列,,,,,…的一个通项公式为 .? (2)数列,-,,-,…的一个通项公式可以为 .? 探究点二 由an与Sn求通项公式an 2 (1)已知数列的前n项和Sn=2n+n2+1(n∈N*),则通项公式为an= .? (2)已知数列的前n项和Sn满足an+2SnSn-1=0(n≥2,n∈N*),a1=,则通项公式为an= .? [总结反思] 已知Sn求an的常用方法是利用an=转化为关于an的关系式,再求通项公式.主要分三个步骤完成: (1)先利用a1=S1,求得a1; (2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系式,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n≥2,n∈N*时的通项; (3)对n=1时的结果进行检验,看是否符合n≥2,n∈N*时an的表达式,如果符合则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分n=1与n≥2两段来写. 式题 (1)[2017·西宁五中月考] 已知数列的前n项和Sn=n2+,则通项公式为an= .? (2)已知数列的前n项 ... ...
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