2018年高考数学（理）母题题源系列（天津专版）专题16+离散性随机变量的分布列、数学期望

母题十六 离散性随机变量的分布列、数学期望 【母题原题1】【2018天津，理16】 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查． （I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ （II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查． （i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望； （ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率． 【考点分析】本小题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分． 【答案】（Ⅰ）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）答案见解析；（ii）． 试题解析：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为， 由于采用分层抽样的方法从中抽取7人， 因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人． （Ⅱ）（i）随机变量的所有可能取值为． 所以，随机变量的分布列为 0 1 2 3 随机变量的数学期望． 【名师点睛】本题主要在考查超几何分布和分层抽样．超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：（1） ；（2）总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比． 【母题原题2】【2017天津，理16】 从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为． （Ⅰ）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和数学期望； （Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 【答案】（I）；（II）． 试题解析：（Ⅰ）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3．， ， ，． ∴随机变量的分布列为 0 1 2 3 随机变量的数学期望． （Ⅱ）设表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为 ．∴这2辆车共遇到1个红灯的概率为． 【考点】离散型随机变量概率分布列及数学期望 【名师点睛】求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可取值有那些？当随机变量取这些值时所对应的事件的概率有是多少，计算出概率值后，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望．；列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题． 【母题原题2】【2016天津，理16】 某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，．现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会． （I）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率； （II）设为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析． 试题解析：解：由已知，有所以事件发生的概率为． 随机变量的所有可能取值为，，．所以随机变量分布列为 随机变量的数学期望． 考点：概率，概率分布与数学期望 【名师点睛】求均值、方差的方法 1．已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解； 2．已知随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b的均值、方差和标准差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解； 3．如能分析所给随机变量 ... ...