第25讲 平面向量的数量积与平面向量应用（原卷版） 考点 内容解读 要求 常考题型 1．平面向量数量积的运算 1．理解平面向量数量积的含义及其几何意义；2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系； II 选择题、填空题 2．平面向量数量积的性质 1．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；2．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个向量的垂直关系． II 选择题、填空题 3．平面向量数量积的综合应用 会用向量方法解决某些简单的实际问题． II 选择题、填空题 1．向量的夹角 定义 图示 范围 共线与垂直 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则 ∠AOB 就是a与b的夹角． 设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是0°≤θ≤180° θ＝0°或θ＝180° a∥b，θ＝90° a⊥b 2．平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a、b的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b 投影 |a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影 几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积． 3．平面向量数量积的性质及其坐标表示 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a、b的夹角． 向量表示 坐标表示 数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立) |x1x2＋y1y2|≤· 4．平面向量数量积的运算律 已知向量a、b、c和实数λ，则： (1)交换律：a·b＝b·a； (2)结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； (3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c． 考点一 平面向量数量积的运算 例1 (1)(2017·课标Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是( ) A．－2 B．－ C．－ D．－1 【解析】 以BC为x轴，BC的垂直平分线AD为y轴，D为坐标原点建立坐标，则A(0，)，B(－1,0)，C(1,0)，设P(x，y)，所以＝(－x，－y)，＝(－1，－x，－y)，＝(1－x，－y)所以＋＝(－2x，－2y)，·(＋)＝2x2－2y(－y)＝2x2＋22－≥－当P时，所求的最小值为－，故选B． 【答案】 B 类题通法 (1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos(a，b)． (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2． 变式训练 1．在△ABC中，D，E分别为BC，AB的中点，F为AD的中点，若·＝－1，AB＝2AC＝2，则·的值为( ) A． B． C． D． 2．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为_____：·的最大值为_____． 3．(2017·课标Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝_____． 4．(天津)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°．点E和F分别在线段BC和DC上，且＝，＝，则·的值为_____． 考点二 求平面向量的模 例2．(2018·西安模拟)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC的中点，则||等于_____． 【解析】 因为＝(＋)＝(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b， 所以||2＝4(a－b)2＝4(a2－2b·a＋b2)＝4×＝4， 所以||＝2． 【答案】 2 变式训练： 1．(2018·南宁质检)已知向量a与b的夹角为30°，且|a|＝1，|2a－b|＝1，则|b|等于( ) A． B． C． D． 2．(2018·厦门模拟)设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝_____． 3．在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1,0)，B(0，)，C(3,0)，动点D满足||＝1，则|＋＋|的最大值是_____． 考点三 求向量的夹角 例3．(2018·江西八校联考)在△ABC中，＝(，)，＝(1，)， ... ...
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