第6讲 函数的奇偶性和周期性（原卷版） 考点 内容解读 要求 常考题型 1．函数奇偶性的定义 结合具体函数，了解函数奇偶性的定义． Ⅰ 选择题，填空题 2．奇偶性的应用 会运用函数的图像理解和研究函数的奇偶性 Ⅱ 选择题，填空题 3．函数的周期性 了解函数的周期性定义及会判断、应用函数的周期性 Ⅱ 选择题，填空题，大题某小问 1．奇偶性的概念 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)就叫作偶函数． 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)就叫作奇函数． 奇函数的图像关于 对称；偶函数的图像关于 对称． (1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的 条件； (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式 (奇函数)或 (偶函数))是否成立． 2．奇偶性的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的 ，偶函数在关于原点对称的区间上的 ． (2)在公共定义域内， ①两个奇函数的和是 ，两个奇函数的积是 ； ②两个偶函数的和、积都是 ； ③一个奇函数，一个偶函数的积是 ． (3)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则 ． (4)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． (5)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性 ；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性 ． 3．周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为 ，称 为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的 ． 考点一、函数奇偶性的判断 例1．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝＋； (2)f(x)＝(x＋1) ； (3)f(x)＝． 【答案】(1)由，得x＝±3． ∴f(x)的定义域为{－3,3}． 又f(3)＋f(－3)＝0，f(3)－f(－3)＝0． 即f(x)＝±f(－x)． ∴f(x)既是奇函数，又是偶函数． (2)由，得－1
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