第21讲 平行四边形 命题点 平行四边形的性质与判定 1．(2012·河北T9·3分)如图，在?ABCD中，∠A＝70°，将?ABCD折叠，使点D，C分别落在点F，E处(点F，E都在AB所在的直线上)，折痕为MN，则∠AMF等于(B) A．70° B．40° C．30° D．20° 2．(2016·河北T13·2分)如图，将?ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠B为(C) A．66° B．104° C．114° D．124° 3．(2015·河北T22·10分)嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图1的四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证． 已知：如图1，在四边形ABCD中，BC＝AD，AB＝CD． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 图1 图2 (1)在横线上填空，以补全已知和求证； (2)按嘉淇的想法写出证明； (3)用文字叙述所证命题的逆命题为平行四边形的对边相等． 证明：连接BD. 在△ABD和△CDB中， ∴△ABD≌△CDB(SSS)． ∴∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠CBD. ∴AB∥DC，AD∥BC. ∴四边形ABCD是平行四边形. 重难点 平行四边形的性质与判定 如图，在?ABCD中，E，F在对角线AC上． (1)若BE，DF分别是△ABO，△CDO的中线，求证：四边形BEDF是平行四边形； (2)若BE，DF分别是△ABO，△CDO的角平分线，四边形BEDF还是平行四边形吗？若BE，DF分别是△ABO，△CDO的高线时，四边形BEDF还是平行四边形吗？ 【思路点拨】(1)可从对角线互相平分上证明四边形BEDF是平行四边形；(2)BE，DF分别是△ABO，△CDO的角平分线和高线时，可得到△BOE≌△DOF，仍有OE＝OF，则有四边形BEDF是平行四边形． 【自主解答】解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD. ∵BE，DF分别是△ABO，△CDO的中线， ∴OE＝OF. ∴四边形BEDF是平行四边形． (2)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，AB∥CD. ∴∠ABO＝∠CDO. ∵BE，DF分别是△ABO，△CDO的角平分线， ∴∠OBE＝∠ODF. 又∵∠BOE＝∠DOF， ∴△BOE≌△DOF(ASA)． ∴OE＝OF. ∴四边形BEDF是平行四边形． 同理可证得BE，DF分别是△ABO，△CDO的高线时，仍有四边形BEDF是平行四边形． 【变式训练】如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于E，F.求证：四边形AECF是平行四边形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC, AD∥BC. ∴∠AEO＝∠CFO. 又∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF(AAS)． ∴OE＝OF. ∴四边形AECF是平行四边形． 1．在平行四边形一条对角线(所在直线上)上任取两个关于对角线交点对称的点，与另一条对角线的两个端点，这四个点围成一个平行四边形． 2．过平行四边形对角线交点任画一直线，在直线上取两点关于交点对称，则两个对称点与一条对角线的两个端点围成一个平行四边形． 3．在一个四边形中证明其对边相等或平行，通常要证明这个四边形是平行四边形． 4．判定平行四边形的基本思路： (1)若已知一组对边平行，可以证明这一组对边相等，或另一组对边平行； (2)若已知一组对边相等，可以证明这一组对边平行，或另一组对边相等； (3)若已知条件与对角线相关，可考虑证明对角线互相平分； (4)若已知一组对角相等，可以证明另一组对角相等. 1．(2018·黔南)如图，在?ABCD中，已知AC＝4 cm，若△ACD的周长为13 cm，则?ABCD的周长为(D) A．26 cm B．24 cm C．20 cm D．18 cm 2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是(D) A．AB∥CD，AD∥BC B．OA＝OC，OB＝OD C．AB＝CD，AD＝BC D．AB∥CD，AD＝BC 3．(2018·宜宾)在?ABCD中，若∠BAD与 ... ...
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