一、等差数列基本量的运算 例1 (1)在数列{an}中，若a1＝－2，且对任意的n∈N*有2an＋1＝1＋2an，则数列{an}前10项的和为( ) A．2 B．10 C. D. (2)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝_____. 【答案】 (1)C (2)6 点拨 等差数列运算问题的通性通法 (1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组) 求解． (2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个， 体现了用方程的思想解决问题． 巩固1(1)设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于( ) A．13 B．35 C．49 D．63 (2)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a＝－3，S5＝10，则a9的值是_____． (3) （2018全国新课标Ⅰ理）记为等差数列的前项和.若，，则（ ） A． B． C． D． 二、等差数列的判定与证明 例2 已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝(n∈N*)． (1)求证：数列{bn}是等差数列； (2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由． (1)证明 因为an＝2－(n≥2，n∈N*)，bn＝(n∈N*)， 所以bn＋1－bn＝－＝－＝－＝1. 又b1＝＝－. 所以数列{bn}是以－为首项，1为公差的等差数列． 点拨 等差数列的四个判定方法 (1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数． (2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2后， 可递推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1， 根据定义得出数列{an}为等差数列． (3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列{an}为等差数列． (4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，根据Sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列{an}为等 差数列． 巩固2数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2. ①设bn＝an＋1－an，证明{bn}是等差数列； ②求{an}的通项公式． 三、等差数列性质的应用 例3 (1)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝_____. (2)已知{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b10＝9，a3＋b8＝15，则a5＋b6＝_____. 【答案】 (1)10 (2)21 巩固3在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11等于( ) A．58 B．88 C．143 D．176 例4 (1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝－12，S9＝45，则S12＝_____. (2)在等差数列{an}中，a1＝－2 018，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2 018的值等于( ) A．－2 018 B．－2 016 C．－2 019 D．－2 017 【解析】 (1)因为{an}是等差数列，所以S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列，所以2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，即2(S6＋12)＝－12＋(45－S6)，解得S6＝3. 又2(S9－S6)＝(S6－S3)＋(S12－S9)， 即2×(45－3)＝(3＋12)＋(S12－45)，解得S12＝114. (2)由题意知，数列{}为等差数列，其公差为1， ∴＝＋(2 018－1)×1 ＝－2 018＋2 017＝－1. ∴S2 018＝－2 018. 【答案】 (1)114 (2)A 巩固4等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则等于( ) A. B. C. D. 点拨 等差数列的性质 (1)项的性质：在等差数列{an}中，am－an＝(m－n)d?＝d(m≠n)， 其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差． (2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则 ①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)； ②S2n－1＝(2n－1)an. 例5在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值． 方法二 Sn＝20n＋·＝－n2＋n＝－2＋. ∵n∈N*，∴当n＝12或n＝13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130. 方法三 由S10 ... ...
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