高考一轮复习学案 第19讲　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用（原卷版+解析版）

第19讲　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 及三角函数模型的简单应用（原卷版） 考点 内容解读 要求 常考题型 1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义，能画出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A、ω、φ对函数图象变化的影响． Ⅰ 选择题，填空题，大题 2．三角函数际问题 会用三角函数解决一些简单实际问题． Ⅱ 选择题，填空题，大 1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相 2．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示： x － － － ωx＋φ y＝Asin(ωx＋φ) 考点一、函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像 例1：某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： ωx＋φ 0 π 2π x Asin(ωx＋φ) 0 5 －5 0 (1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式； (2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象．若y＝g(x)图象的一个对称中心为，求θ的最小值． 【解析】　(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－，数据补全如下表： ωx＋φ 0 π 2π x π Asin(ωx＋φ) 0 5 0 －5 0 且函数解析式为f(x)＝5sin． (2)由(1)知 f(x)＝5sin，则g(x)＝5sin． 因为函数y＝sin x图象的对称中心为(kπ，0)，k∈Z, 令2x＋2θ－＝kπ，解得x＝＋－θ，k∈Z． 由于函数y＝g(x)的图象关于点成中心对称，所以令＋－θ＝，解得θ＝－，k∈Z． 由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值． 【答案】，k∈Z． 【解析】要使函数y＝lg(2sin x－1)＋有意义，则即解得2kπ＋≤x<2kπ＋，k∈Z．即函数的定义域为，k∈Z． 类题通法 1．用“五点法”作图应抓住四条： ①将原函数化为y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)或y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的形式； ②求出周期T＝； ③求出振幅A； ④列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点． 2．图象变换法 (1)平移变换 ①沿x轴平移，按“左加右减”法则； ②沿y轴平移，按“上加下减”法则． (2)伸缩变换 ①沿x轴伸缩时，横坐标x伸长(0＜ω＜1)或缩短(ω＞1)为原来的倍(纵坐标y不变)； ②沿y轴伸缩时，纵坐标y伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)为原来的A倍(横坐标x不变)． 变式训练 1．将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(　　) A．y＝2sin　　 B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin 2．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图象，则f＝_____． 考点二、三角函数图像的对称性 例3： 函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(其中|φ|<，x∈R)的部分图象如图所示，则错误的是(　　) A．一条对称轴方程为x＝－ B．一个对称中心坐标为(，0) C．在区间[－，]上单调递增 D．f(－)＝f()(f(x)＝sin(2x＋)) 【答案】C 【解析】　∵＝π－，∴T＝π，∴ω＝2．∴函数f(x)＝sin(2x＋φ)． 当x＝时f(x)＝0，所以2×＋φ＝π＋2kπ；φ＝＋2kπ． 又∵|φ|<，∴φ＝，∴f(x)＝sin(2x＋)． ∴函数的对称轴是2x＋＝＋kπ，x＝＋． 当k＝－2时，A正确，令2x＋＝kπ，x＝－＋kπ， ∴函数的对称中心为(－＋kπ，0)．B正确． 类题通法 (1)y＝Asin(ωx＋φ)的图象有无穷多条对称轴，可由方程ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象 与x轴的交点，可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，解得x＝(k∈ Z)，即其对称中心为(，0)(k∈Z)． (2)相邻两对称轴间的距离为，相邻两对称中心间的距离也为． 变式训练 1．将函数y＝cosx ... ...