3.1.1 数系的扩充和复数的概念 学习目标：1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程．(重点)2.理解复数的概念、表示法及相关概念．(重点) 3．掌握复数的分类及复数相等的充要条件．(重点、易混点) [自 主 预 习·探 新 知] 1．复数的概念：z＝a＋bi(a，b∈R) 全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}，叫做复数集． 2．复数相等的充要条件 设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d. 3．复数的分类 z＝a＋bi(a，b∈R) 思考：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间存在怎样的关系？ [提示] [基础自测] 1．思考辨析 (1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．( ) (2)复数i的实部不存在，虚部为0.( ) (3)bi是纯虚数．( ) (4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．复数i－2的虚部是( ) A．i B．－2 C．1 D．2 C [i－2＝－2＋i，因此虚部是1.] 3．如果(x＋y)i＝x－1，则实数x，y的值分别为( ) A．x＝1，y＝－1 B．x＝0，y＝－1 C．x＝1，y＝0 D．x＝0，y＝0 A [∵(x＋y)i＝x－1， ∴ ∴x＝1，y＝－1.] 4．在下列数中，属于虚数的是_____，属于纯虚数的是_____. 【导学号：31062191】 0,1＋i，πi，＋2i，－i，i. [解析] 根据虚数的概念知：1＋i，πi，＋2i，－i，i都是虚数；由纯虚数的概念知：πi，i都是纯虚数． [答案] 1＋i，πi，＋2i，－i，i πi，i [合 作 探 究·攻 重 难] 复数的概念及分类 实数x分别取什么值时，复数z＝＋(x2－2x－15)i是①实数？②虚数？③纯虚数？ [解] ①当x满足即x＝5时，z是实数． ②当x满足即x≠－3且x≠5时，z是虚数． ③当x满足即x＝－2或x＝3时，z是纯虚数． [规律方法] 复数分类的关键? ?1?利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式.求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z＝a＋bi?a，b∈R?时应先转化形式.? ?2?注意分清复数分类中的条件? 设复数z＝a＋bi?a，b∈R?，则①z为实数?b＝0，②z为虚数?b≠0，③z为纯虚数?a＝0，b≠0，④z＝0?a＝0，且b＝0. [跟踪训练] 1．若复数z＝a2－3＋2ai的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为_____. 【导学号：31062192】 [解析] (1)由条件知a2－3＋2a＝0， ∴a＝1或a＝－3. [答案] 1或－3 2．实数k为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)分别是①实数；②虚数；③纯虚数；④零． [解] 由z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i. ①当k2－5k－6＝0时，z∈R，即k＝6或k＝－1. ②当k2－5k－6≠0时，z是虚数，即k≠6且k≠－1. ③当时，z是纯虚数，解得k＝4. ④当时，z＝0，解得k＝－1. 复数的相等的充要条件 [探究问题] 1．由3>2能否推出3＋i>2＋i？两个实数能比较大小，那么两个复数能比较大小吗？ 提示：由3>2不能推出3＋i>2＋i，当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小． 2．若复数z＝a＋bi>0，则实数a，b满足什么条件？ 提示：若复数z＝a＋bi>0，则实数a，b满足a>0，且b＝0. (1) 若复数z＝(m＋1)＋(m2 －9)i<0，则实数m的值等于_____． (2)已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有实数根，求实数m的值． [思路探究] (1)等价转化为虚部为零，且实部小于零； (2)根据复数相等的充要条件求解． (1)－3 [∵z<0，∴，∴m＝－3.] (2)设a是原方程的实根， 则a2＋(1－2i)a＋(3m－i)＝0， 即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0＋0i， 所以a2＋a＋3m＝0且2a＋1＝0， 所以a＝－且2－＋3m＝0， 所以m＝. 母题探究：1.(变条件)若x＝1是方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0的实数根，求复数m的值． [解] 由题意可知，1＋1－2i＋3 ... ...
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