第51讲 抛物线（原卷版） 考点 内容解读 要求 常考题型 1.抛物线的定义 掌握抛物线的定义和标准方程，会运用定义和会求抛物线的标准方程 Ⅰ 选择题，填空题，大题 2.抛物线的性质 能通过方程研究抛物线的几何性质 Ⅱ 选择题，填空题，大题 1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质 ()： 标准方程 图形 焦点 准线 范围 对称轴 轴 轴 顶点 离心率 2.抛物线的焦半径、焦点弦 ①的焦半径 ;的焦半径 ； ② 过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做 .其长度为 . ③ AB为抛物线的焦点弦，则 ，，= 3.直线与抛物线 它们的位置关系无外乎三种情况，即 。具体来说： 1.相离的问题常转化为二次曲线上的点到已知直线的距离的最大值或最小值来解决； 2.只有一个公共点，对抛物线表示 ； 3.有两相异的公共点，表示相割，此时直线被截线段称为圆锥曲线的弦。 常见的问题有： （1）直线与圆锥曲线位置关系的研究。 包括位置关系的判定，位置关系与参数值，位置关系与曲线方程等。 （2）直线与圆锥曲线相交成弦的问题。 包括弦长的计算，弦的中点，最值，由弦长或弦的中点的几何性质确定直线方程或圆锥曲线的方程，对称性问题等等。 弦长的求法：由， 弦长 . 注意：消去可得关于的二元方程有直线斜率. 求解的基本策略是，将其转化为直线与圆锥曲线方程的方程组的解的问题，进而转化为一元二次方程的实根问题，因而判别式、韦达定理、弦长公式、焦半径公式的应用，以及设而不求、整体代入、数形结合的思想方法技巧在这里起着极为重要的作用。 4.抛物线的特殊性质 （1）过抛物线（）的焦点F的直线l交抛物线于、两点，设，，O为原点，则有：（1）；（2）；（2）；（4）。 （3）直线l交抛物线（）于、两点，O为原点，若OA⊥OB，则直线l经过定点（2p，0），，反之亦然（证明略）。 考点一、抛物线的定义 【例1】已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值为 . 【答案】3 【解析】过点P作准线的垂线交准线于点R，由抛物线的定义知，，当P点为抛物线与垂线的交点时，取得最小值，最小值为点Q到准线的距离 ,因准线方程为x=-1,故最小值为3 【例2】已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且、、成等差数列， 则有（ ） A． B． C． D. 【答案】C 【解析】 由抛物线定义，即：． 类题通法 灵活利用抛物线的定义，就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换，一般来说,用定义问题都与焦半径问题相关. 变式训练 1. 已知点F是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点,当最小时, M点坐标是 ( ) A. B. C. D. 考点二、抛物线的标准方程 【例3】求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： (1)过点(-3,2) (2)焦点在直线上 【答案】(1) 抛物线方程为或, (2). 【解析】(1)设所求的抛物线的方程为或, ∵过点(-3,2) ∴ ∴ ∴抛物线方程为或, 前者的准线方程是后者的准线方程为 (2)令得，令得， ∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时, ∴，此时抛物线方程;焦点为(0,-2)时 ∴，此时抛物线方程. ∴所求抛物线方程为或,对应的准线方程分别是. 【例4】如图，倾斜角为a的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点。 （Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程； （Ⅱ）若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交 x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。 【答案】Ⅰ）焦点F（2，0），准线. 【解析】（Ⅱ）直线AB： 代入（1），整理得： 设方程（2）之二根为y1，y2，则. 设AB中点为 AB的垂直平分线方程是：. 令y=0，则 故 于是|FP|-|FP|cos2a=，故为定值. 变式训练 1若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则的值 2. 对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件： ①焦点在y轴上； ②焦 ... ...
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