第四章 图形的性质 第23节 等腰三角形 ■考点1.等腰三角形 （1）性质 ①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB＝AC∠B＝∠C； ②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高 互相重合; ③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是对称轴. （2）判定 ①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形； ②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形. 注意：三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立. 失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论.如若等腰三角形ABC的一个内角为30°，则另外两个角的度数为 . ■考点2.等边三角形 （1）性质 ①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°. 即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°； ②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴. （2）判定 ①定义：三边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形； ③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形.【来源：21cnj*y.co*m】 注意：（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质. （2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=1/2AB.21*cnjy*com ■考点3.角平分线 （1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若 ∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB. （2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平 分线上． ■考点4.垂直平分线 （1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB. （2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． ■考点1.等腰三角形 ◇典例： 1.【2017武汉】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【考点】等腰三角形的判定与性质． 【分析】①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形； ②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形； ③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形； ④以C为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点K，△BCK就是等腰三角形； ⑤作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形； ⑥作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI和△ACI是等腰三角形． 解：如图： 故选D． 2.【2017娄底】如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB=2，点D为AC的中点，点E，F分别是线段AB，CB上的动点，且∠EDF=90°，若ED的长为m，则△BEF的周长是 （用含m的代数式表示）． 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 【分析】先判断出∠ADE=∠BDF，进而判断出△ADE≌△BDF得出AE=BF，DE=DF，利用勾股定理求出EF即可得出结论． 解：如图， 连接BD，在等腰Rt△ABC中，点D是AC的中点， ∴BD⊥AC， ∴BD=AD=CD，∠DBC=∠A=45°，∠ADB=90°， ∵∠EDF=90°， ∴∠ADE=∠BDF， 在△ADE和△BDF中，， ∴△ADE≌△BDF（ASA）， ∴AE=BF，DE=DF， 在Rt△DEF中，DF=DE=m． ∴EF=DE=m， ∴△BEF的周长为BE+BF+EF=BE+AE+EF=AB+EF=2+m， 故答案为：（m+2） ◆变式训练 1.【2017滨州】如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且DA=DC，BD=BA，则∠B的大小为（ ） A．40° B．36° C．30° D．25° 2.【2017徐州】如图，已知OB=1，以OB为直角边作等腰直角三角形A1BO，再以OA1为直角边作等腰直角三角形A2A1O，如此下去，则线段OAn的长度为 ． ■考点2.等边三角形 ... ...
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