第四章 图形的性质 第24节 直角三角形 ■考点1.直角三角形的性质 (1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°； (2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则AC＝AB； 斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则CD＝AB. 勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即 a2＋b2＝c2 . ■考点2.直角三角形的判定 (1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，则△ABC是Rt△； (2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．即若AD＝BD＝CD，则△ABC是Rt△ (3) 勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则△ABC是Rt△. ■考点3.直角三角形的综合应用 （1）直角三角形的面积S=ch=ab(其中a,b为直角边，c为斜边，h是斜边上的高)，可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题. （2）已知两边，利用勾股定理求长度，若斜边不明确，应分类讨论. （3）在折叠问题中，求长度，往往需要结合勾股定理来列方程解决. ■考点1.直角三角形的性质 ◇典例： 1.【2018襄阳】如图，把一块三角板的直角顶点放在一直尺的一边上，若∠1=50°，则∠2的度数为（ ） A．55° B．50° C．45° D．40° 【考点】平行线的性质，直角三角形的性质 【分析】利用平行线的性质求出∠3即可解决问题； 解： ∵∠1=∠3=50°，∠2+∠3=90°， ∴∠2=90°﹣∠3=40°， 故选：D． 【点评】本题考查平行线的性质，三角板的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 2.【2017河池】已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G．当G与D重合时，AD的长是（ ） A．3 B．4 C．8 D．9 【考点】等边三角形的性质；含30度角的直角三角形． 【分析】设BD=x，根据等边三角形的性质得到∠A=∠B=∠C=60°，由垂直的定义得到∠BDF=∠DEA=∠EFC=90°，解直角三角形即可得到结论． 解：如图，设BD=x， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60°， ∵DE⊥AC于点E，EF⊥BC于点F，FG⊥AB， ∴∠BDF=∠DEA=∠EFC=90°， ∴BF=2x， ∴CF=12﹣2x， ∴CE=2CF=24﹣4x， ∴AE=12﹣CE=4x﹣12， ∴AD=2AE=8x﹣24， ∵AD+BD=AB， ∴8x﹣24+x=12， ∴x=4， ∴AD=8x﹣24=32﹣24=8． 故选C． 3.【2017襄阳】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以点C为圆心， CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF的长为( ) A．5 B．6 C．7 D．8 【考点】直角三角形斜边上的中线 解:连接CD， ∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4， ∴AB＝2BC＝8.由作法可知BC＝CD＝4， CE是线段BD的垂直平分线， ∴CD是斜边AB的中线， ∴BD＝AD＝4， ∴BF＝DF＝2， ∴AF＝AD＋DF＝4＋2＝6. 故选A 4.【2017铁岭】如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，分别以点A，点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交AB于点O，连接CO，则CO的长是（ ） A．1.5 B．2 C．2.4 D．2.5 【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线； 勾股定理的逆定理． 【分析】先利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，再由作法得MN垂直平分AB，然后根据直角三角形斜边上的中线性质求解． 解：∵AB=5，AC=4，BC=3， ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°， 由作法得MN垂直平分AB， ∴AO=OB， ∴OC=AB=2.5． 故选D． ◆变式训练 1.【2018德州】如图,将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中与互余的是（ ） A. 图① B. 图② C. 图③ D. 图④ 2.【2018玉林】如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，则AD的取值范 ... ...
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