第四章 图形的性质 第25节 解直角三角形 / ■考点1. 锐角三角函数的定义 1.锐角三角函数 正弦: sinA＝＝ 余弦: cosA＝＝ 正切: tanA＝＝. 2.特殊角的三角函数值 度数 三角函数 30° 45° 60° sinA cosA tanA 1 ■考点2：解直角三角形 1.解直角三角形的概念 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2.解直角三角形的常用关系 (1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2； (2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°； (3)边角之间的关系：sinA＝=cosB=，cosA＝sinB=，tanA＝. ■考点3：解直角三角形的应用 1.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角 (1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①） (2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα. （如图②） (3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③） / / / 2.解直角三角形实际应用的一般步骤 (1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； (2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题； (3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解． / ■考点1. 锐角三角函数的定义 ◇典例： 1.【2017金华】在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则tanA的值是（ ） A．/ B．/ C．/ D．/ 【考点】锐角三角函数的定义． 【分析】根据勾股定理，可得AC的长，根据正切函数的定义，可得答案． 解：由勾股定理，得 AC=/=4， 由正切函数的定义，得 tanA=/=/， 故选：A． 【2017天津】cos60°的值等于（ ） A．/ B．1 C．/ D．/ 【考点】特殊角的三角函数值． 【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案． 解：cos60°=/， 故选：D． ◆变式训练 1.【2017宜昌】△ABC在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为1），AD⊥BC于D，下列选项中，错误的是（ ） / A．sinα=cosα B．tanC=2 C．sinβ=cosβ D．tanα=1 【考点】锐角三角函数的定义． 【分析】观察图象可知，△ADB是等腰直角三角形，BD=AD=2，AB=2/，AD=2，CD=1，AC=/，利用锐角三角函数一一计算即可判断． 解：观察图象可知，△ADB是等腰直角三角形，BD=AD=2，AB=2/，AD=2，CD=1，AC=/， ∴sinα=cosα=/，故①正确， tanC=/=2，故②正确， tanα=1，故D正确， ③∵sinβ=/=/，cosβ=/， ∴sinβ≠cosβ，故C错误． 故选C． / 2.【2017哈尔滨】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝1，则cosB的值为( ) A. B. C. D. ■考点2：解直角三角形 ◇典例 1.【2017广州】如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=15，tanA=/，则AB= ． / 【考点】解直角三角形． 【分析】根据∠A的正切求出AC，再利用勾股定理列式计算即可得解． 解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=/，BC=15， ∴/=/， 解得AC=8， 根据勾股定理得，AB=/=/=17． 故答案为：17． 2.【2017湘潭】某游乐场部分平面图如图所示，C、E、A在同一直线上，D、E、B在同一直线上，测得A处与E处的距离为80 米，C处与D处的距离为34米，∠C=90°，∠ABE=90°，∠BAE=30°．（/≈1.4，/≈1.7） （1）求旋转木马E处到出口B处的距离； （2）求海洋球D处到出口B处的距离（结果保留整数）． / 【考点】解直角三角形． 【分析】（1）在Rt△ABE中，利用三角函数即可直接求得BE的长； （2）在Rt△CDE中，利用三角函数求得DE的长，然 ... ...
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