第四章 图形的性质第31节 尺规作图 ■考点1．网格作图：利用平移、旋转、轴对称、中心对称、位似在网格中作图称为网格作图 ■考点2．尺规作图 (1)尺规作图的定义： 在几何里把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图，称为尺规作图，最基本最常用的尺规作图，称为基本作图． (2)五种基本尺规作图：①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角：③作一个角的角平分线：④作线段的垂直平分线：⑤经过一点作已知直线的垂线． (3)尺规作图的步骤： ①已知：写出已知的线段和角，画出图形： ②求作：求作什么图形，它符合什么条件，一一具体化： ③作法：应用五种基本作图，叙述时不需要重述基本作图的过程，但图中必须保留基本作图的痕迹： ④证明：为了验证所作图形的正确性，把图作出后，根据有关的定义、定理等并结合作法证明所作图形完全符合题设条件， ⑤对所作图形下结论． (4)作三角形：①已知三边作三角形；②已知两边及其夹角作三角形：③已知两角及其夹边作三角形：④已知底边及底边上的高作等腰三角形． (5)探究如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆． ■考点1．网格作图 ◇典例： 【2017佳木斯】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，2）请解答下列问题： （1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出A1的坐标． （2）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出A2的坐标． （3）画出△A2B2C2关于原点O成中心对称的△A3B3C3，并写出A3的坐标． 【考点】 作图﹣旋转变换； 作图﹣轴对称变换． 【分析】根据题意画出相应的三角形，确定出所求点坐标即可． 解：（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，如图所示，此时A1的坐标为（﹣2，2）； （2）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，如图所示，此时A2的坐标为（4，0）； （3）画出△A2B2C2关于原点O成中心对称的△A3B3C3，如图所示，此时A3的坐标为（﹣4，0）． ◆变式训练 【2017?温州】在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的三角形为整点三角形．如图，已知整点A（2，3），B（4，4），请在所给网格区域（含边界）上按要求画整点三角形． （1）在图1中画一个△PAB，使点P的横、纵坐标之和等于点A的横坐标； （2）在图2中画一个△PAB，使点P，B横坐标的平方和等于它们纵坐标和的4倍． ■考点2．尺规作图 ◇典例 【2017孝感】如图，已知矩形ABCD（AB＜AD）． （1）请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹； ①以点A为圆心，以AD的长为半径画弧交边BC于点E，连接AE； ②作∠DAE的平分线交CD于点F； ③连接EF； （2）在（1）作出的图形中，若AB=8，AD=10，则tan∠FEC的值为 ． 【分析】（1）根据题目要求作图即可； （2）由（1）知AE=AD=10、∠DAF=∠EAF，可证△DAF≌△EAF得∠D=∠AEF=90°，即可得∠FEC=∠BAE，从而由tan∠FEC=tan∠BAE=可得答案． 解：（1）如图所示； （2）由（1）知AE=AD=10、∠DAF=∠EAF， ∵AB=8， ∴BE==6， 在△DAF和△EAF中， ∵， ∴△DAF≌△EAF（SAS）， ∴∠D=∠AEF=90°， ∴∠BEA+∠FEC=90°， 又∵∠BEA+∠BAE=90°， ∴∠FEC=∠BAE， ∴tan∠FEC=tan∠BAE===， 故答案为：． 【点评】本题主要考查作图﹣基本作图及全等三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握角平分线的尺规作图和全等三角形的判定与性质是解题的关键． ◆变式训练 【2017赤峰】已知平行四边形ABCD． （1）尺规作图：作∠BAD的平分线交直线BC于点E，交DC延长线于点F（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，求证：CE=CF． 1.【2018河北】尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线； Ⅲ、过 ... ...
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