第二部分 专题七 类型1 探究线段数量关系及最值的存在性 1．(2018·湘潭改编)如图，点P为抛物线y＝x2上一动点． (1)若抛物线y＝x2是由抛物线y＝(x＋2)2－1通过平移得到的，请写出平移的过程； (2)若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为(0，－1)，过点P作PM⊥l于M. ①如图1，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM＝PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由． ②如图2，若点Q的坐标为(1,5)，求QP＋PF的最小值． 第1题图 解：(1)∵抛物线y＝(x＋2)2－1的顶点坐标为(－2，－1)， ∴抛物线y＝(x＋2)2－1向上平移1个单位，再向右2个单位得到抛物线y＝x2. 第1题答图 (2)①存在一定点F，使得PM＝PF恒成立．如答图，过点P作PB⊥y轴于点B. 设点P的坐标为(a，a2)， ∴PM＝PF＝a2＋1. ∵PB＝a，∴在Rt△PBF中，BF＝＝＝a2－1，∴OF＝1， ∴点F坐标为(0,1)． ②由①知PM＝PF, QP＋PF的最小值为QP＋PM的最小值，当Q，P，M三点共线时，QP＋PM有最小值为6.∴QP＋PF的最小值为6. 2．(2018·宜宾)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为(2,0)，且经过点(4,1)，如图，直线y＝x与抛物线交于A，B两点，直线l为y＝－1. (1)求抛物线的解析式； (2)在l上是否存在一点P，使PA＋PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第2题图 (3)已知F(x0，y0)为平面内一定点，M(m，n)为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标． 解：(1)∵抛物线的顶点坐标为(2,0)，∴设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2. ∵该抛物线经过点(4,1)， ∴1＝4a，解得a＝， ∴抛物线的解析式为y＝(x－2)2＝x2－x＋1. (2)联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得解得 ∴点A的坐标为(1，)，点B的坐标为(4,1)． 如答图， 第2题答图 作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA＋PB取得最小值． ∵点B(4,1)，直线l为y＝－1， ∴点B′的坐标为(4，－3)． 设直线AB′的解析式为y＝kx＋b(k≠0)， 将A(1，)，B′(4，－3)分别代入y＝kx＋b，得解得 ∴直线AB′的解析式为y＝－x＋. 当y＝－1时，有－x＋＝－1， 解得x＝，∴点P的坐标为(，－1)． (3)∵点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等， ∴(m－x0)2＋(n－y0)2＝(n＋1)2， ∴m2－2x0m＋x－2y0n＋y＝2n＋1. ∵M(m，n)为抛物线上一动点， ∴n＝m2－m＋1， ∴m2－2x0m＋x－2y0(m2－m＋1)＋y＝ 2(m2－m＋1)＋1，整理得(1－－y0)m2＋(2－2x0＋2y0)m＋x＋y－2y0－3＝0. ∵m为任意值，∴ 解得 ∴定点F的坐标为(2,1)． 3．(2018·烟台)如图1，抛物线y＝ax2＋2x＋c与x轴交于A(－4,0)，B(1,0)两点，过点B的直线y＝kx＋分别与y轴及抛物线交于点C，D. (1)求直线和抛物线的表达式； (2)动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值； (3)如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM＋MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由． 第3题图 解：(1)把A(－4,0)，B(1,0)分别代入y＝ax2＋2x＋c，得解得 ∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x－. ∵直线y＝kx＋过点B， ∴将B(1,0)代入，得k＝－， ∴直线的表达式为y＝－x＋. (2)由 得交点D的坐标为(－5,4)．如答图1，过D作DE⊥x轴于点E，作DF⊥y轴于点F. 当P1D⊥P1C时，△P1DC为直角三角形， 则△DEP1∽△P1OC， ∴＝，即＝，解得t＝； 当P2D⊥DC时，△P2DC为直角三角形， 由△P2DB∽△DEB得＝，即＝， 解得t＝； 当P3C⊥DC时，△DFC∽△COP3， ∴＝，即＝，解得t＝.∴当t的值为或或 ... ...
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