高三理参考答案： 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分． （1）A （2）C （3）B （4）B （5）B （6）B （7）D （8）B 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分30分． （9） （10）15 （11） （12）(-1,1)∪（2，+∞） （13）54 （14） 三、解答题 （15）解：（Ⅰ） ………………………………6分 （Ⅱ）函数在区间为增函数，在区间为减函数，又 ，， ……………………13分 （16）解： （Ⅰ）因为，所以， ，，........................4分 所以在点处切线的斜率为：， 所以切线方程为，即………………………6分 （Ⅱ）∵, 由得，由得或， 则函数的单调递增区间为，........................................... 10分 单调递减区间为和列表如下： x (－∞，a) a (a, 3a) 3a (3a,+ ∞) f′(x) — 0 + 0 — f(x) －a3+b[] b ∴函数的极大值为b，极小值为－a3+b…………………………（13分） （17）解：（Ⅰ）由题意有， ，即．.................2分 解得 或，故或．..........................4分 （Ⅱ）由，知，，故，.................................6分 于是 ， ① . ② ....................10分 ①-②可得 ， ..................................................12分 故． ....................................................13分 （18）解：（Ⅰ）由已知， 整理得， 即 ∵A+B+C=180°，∴， ∴sinA=2sinAcosB，又∵， ……4分 ∵ ∴B=60°，b= ……………6分 （Ⅱ）由余弦定理，得 … 解得，（舍）.................................................10分 ∴，…………13分 （19）解：（Ⅰ）由得，...........................................2分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得从而，..........4.分 （1）当时，由得，由得； （2）当时，由得，由得；....................6分 综上，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．..........8分 （Ⅲ）当时，，． 由（Ⅱ）可得，当在区间内变化时，的变化情况如下表： － 0 + 单调递减 极小值1 单调递增 2 又，所以函数的值域为[1，2]．.................................12分 据此可得，若，则对每一个，直线与曲线 都有公共点．并且对每一个，直线与 曲线都没有公共点． 综上，当时，存在最小的实数=1，最大的实数=2，使得对每一个，直线与曲线都有公共点．...................................................14分 （20）解：（Ⅰ）由题意，，， 知，又由，得公比（舍去），................2分 所以数列的通项公式为，....................................................4分 所以，[][学,科,] 故数列的通项公式为，；....................................6分 （Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知，，...............8分 所以；.......................................................10分 （ii）因为； 当时，， 而， 得， 所以当时，， 综上对任意恒有，故． ...........................................14分 ... ...
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