八上数学期末专题复习学案--特殊三角形的综合应用 ◆考点七：特殊三角形的综合应用： 典例精讲：例7.如图，△ABC中，AB=AC，∠A=∠ACB．（1）求证：△ABC是等边三角形； （2）若D为AB的中点，P为CD上的点，Q为PC的中点，且PE⊥AC于点E，QF⊥BC于点F，试求的立方根． 变式训练： 1.如图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC，∠1=∠2． （1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由；（2）△CDE是不是直角三角形？并说明理由． 2．如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E，A在直线DC的同侧，连接AE．（1）求证：△ACE≌△BCD； （2）线段AE与BC有什么位置关系？请说明理由． 典例精讲：例8.已知：∠ACB=90°，AC=BC，D为AB的中点，E为AB边上的一点．作BF⊥CE于点F，交CD于点G，过点A作AH⊥CE于点H．（1）如图1，求线段BF，AH，FH的关系； （2）如图2，连接FD，DH，试判断△FDH的形状；（3）如图3，延长AH，CD交于点M，求证：BE=CM． 变式训练： 1．已知：如图所示，在边长为4的等边△ABC中，AD为BC边上的中线，且AD=2，以AD为一边向左作等边△ADE．（1）求：△ABC的面积； （2）判断AB与DE的位置关系是什么？请予以证明． 2．在等边三角形ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ． （1）求证：△ABP≌△CAQ；（2）请判断△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论． 3．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，（1）求∠F的度数；（2）若CD=3，求DF的长． 典例精讲：例9..已知：C是线段AB所在平面内任意一点，分别以AC、BC为边，在AB同侧作等边三角形ACE和BCD，联结AD、BE交于点P． （1）如图1，当点C在线段AB上移动时，线段AD与BE的数量关系是： ． （2）如图2，当点C在直线AB外，且∠ACB＜120°，上面的结论是否还成立？若成立请证明，不成立说明理由． （3）在（2）的条件下，∠APE大小是否随着∠ACB的大小发生变化而发生变化，若变化写出变化规律，若不变，请求出∠APE的度数． 变式训练： 如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角两边分别交AB，AC边于M，N两点，连接MN． （I）探究：线段BM，MN，NC之间的关系，并加以证明． 提示：看到这个问题后，小明猜想：BM+NC=MN，并且通过延长AC到点E，使得CE=BM，连接DE，再证明三角形全等，请你按照小明的思路写出证明过程． （Ⅱ）若点M是AB的延长线上的一点，N是CA的延长线上的点，其它条件不变，请你再探线段BM，MN，NC之间的关系，在图②中画出图形，并说明理由． 典例精讲：例10.如图，在△ABC中，AB=AC，AM平分∠BAC，交BC于点M，D为AC上一点，延长AB到点E，使CD=BE，连接DE，交BC于点F，过点D作DH∥AB，交BC于点H，G是CH的中点．（1）求证：DF=EF．（2）试判断GH，HF，BC之间的数量关系，并说明理由． 变式训练： 1.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=18°，D是AC上一点，连接BD，过点D作DE⊥BC，交BC于点E，延长ED到点F，使得DF=AB，连接AF，BF，CF，G是BC上一点，连接FG，交AC于点H，已知∠ADB=36°，BF平分∠ABC． （1）试判断BD与AC之间的数量关系，并说明理由；（2）若BF=CF，∠BGF=∠FDC，求∠BFG的度数； （3）求证：FH是△ACF的高． 2.如图，△AOB，△COD是等腰直角三角形，点D在AB上，（1）求证：△AOC≌△BOD；（2）若AD=3，BD=1，求CD． 巩固提升： 1．在△ABC中，AB=AC． （1）如图1，如果∠BAD=30°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC= （2）如图2，如果∠BAD=40°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC= （3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？并给予证明 ... ...
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