【2019赢在中考】中考数学2轮专题解读与强化训练专题08 动态型问题（含解析）

【2019赢在中考】数学二轮专题解读与强化训练专题08 动态型问题 / 动态型问题是以点、线、面(如三角形、四边形)的运动为情境，探索和发现其中规律和结论的中考题型，由于图形的运动，导致题目的条件不断改变，随之相应的数量关系和结论也可能改变，这样就出现一个事件中蕴含着多个数学问题，既独立又有联系，使题目无论从考查知识上，还是解决方法上都具有较强的综合性，以达到培养和考查学生的观察、试验、空间想象、分析综合等解决问题的能力，在全国的中考试卷中常作为压轴题出现，类型有：(1)点的运动，(2)线的运动，(3)面(如三角形、四边形)的运动． / 解决动态问题的思维与方法：(1)认清问题中的静态图形和动态图形，并确定动态图形的起始位置和终止位置；(2)画出不同时刻动态图形与静态图形形成的几何图形，这样就能达到由“动”变“静”，再设法分别求解问题． / 考向一　点的运动型问题 例1．（2018年广东省广州市）如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，∠D=30°，AB=BC． / （1）求∠A+∠C的度数． （2）连接BD，探究AD，BD，CD三者之间的数量关系，并说明理由． （3）若AB=1，点E在四边形ABCD内部运动，且满足 /，求点E运动路径的长度． 【考点】等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，多边形内角与外角，弧长的计算，旋转的性质 【思路点拨】（1）根据四边形内角和为360度，结合已知条件即可求出答案. （2）将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAQ，连接DQ（如图），由旋转性质和等边三角形判定得△BDQ是等边三角形，由旋转性质根据角的计算可得△DAQ是直角三角形，根据勾股定理得AD2+AQ2=DQ2 ， 即AD2+CD2=BD2. （3）将△BCE绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接EF(如图)，由等边三角形判定得△BEF是等边三角形，结合已知条件和等边三角形性质可得AE2=EF2+AF2 ， 即∠AFE=90°，从而得出∠BFA=∠BEC=150°，从而得出点E是在以O为圆心，OB为半径的圆周上运动，运动轨迹为BC，根据弧长公式即可得出答案. 【解题过程】解：（1）在四边形ABCD中，∠B=60°，∠D=30°， ∴∠A+∠C=360°-∠B-∠C=360°-60°-30°=270°. （2）如图，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAQ，连接DQ， / ∵BD=BQ，∠DBQ=60°， ∴△BDQ是等边三角形， ∴BD=DQ， ∵∠BAD+∠C=270°， ∴∠BAD+∠BAQ=270°， ∴∠DAQ=360°-270°=90°， ∴△DAQ是直角三角形 ∴AD2+AQ2=DQ2 ， 即AD2+CD2=BD2 （3）如图，将△BCE绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接EF， / ∵BE=BF，∠EBF=60°， ∴△BEF是等边三角形， ∴EF=BE，∠BFE=60°， ∵AE2=BE2+CE2 ∴AE2=EF2+AF2 ∴∠AFE=90° ∴∠BFA=∠BFE+∠AFE=60°+90°=150°， ∴∠BEC=150°， 则动点E在四边形ABCD内部运动，满足∠BEC=150°，以BC为边向外作等边△OBC， 则点E是以O为圆心，OB为半径的圆周上运动，运动轨迹为BC， ∵OB=AB=1， 则BC= /= / 【名师点睛】此题考查了学生对等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，多边形内角与外角，弧长的计算，旋转的性质等知识点的综合运用能力． 考向二　线的运动型问题 例2．如图，矩形AOCB的顶点A、C分别位于x轴和y轴的正半轴上，线段OA、OC的长度满足方程|x﹣15|+/=0（OA＞OC），直线y=kx+b分别与x轴、y轴交于M、N两点，将△BCN沿直线BN折叠，点C恰好落在直线MN上的点D处，且tan∠CBD=/ （1）求点B的坐标； （2）求直线BN的解析式； （3）将直线BN以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，求直线BN扫过矩形AOCB的面积S关于运动的时间t（0＜t≤13）的函数关系式． / 【思路点拨】（1）由非负数的性质可求得x、y的值，则可求得B点坐标； （2）过D作EF⊥OA于点E，交CB于点F，由条件可求得D点坐标，且可求得/=/，结合DE∥ON，利用平行线分线段成 ... ...