天津市部分区2018-2019学年度第一学期期末考试高二数学

天津市部分区2018～2019学年度第一学期期末考试 高二数学参考答案 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B A C B C A B D 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分． 11． 　12．　 13． 　14． 15． 三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（12分） 解：（Ⅰ）当时，, ∴.　　　　　　　　　　�———�……….……………6分 （Ⅱ）∵复数在复平面内对应的点位于第二象限, ∴ …………………………………………9分 解得， 所以的取值范围是. …………………………………12分 17．（12分） 解：（Ⅰ）当时 ， ，　　　　　　　　　　　　 …….…………………………3分 当时，也适合上式, ∴.　　　　　　　　　　　 …….…………………………4分 ∴，. 设数列的公比为，则. ∵，∴， ∴ …………………………………………7分 （Ⅱ）由（1）可知，， ∴ ①， 　②， ……9分 由①－②得， 　　 ………………………11分 ∴.　　　　　 �———�……………………………12分 18．（12分） 解：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，. �———�……………1分 （Ⅰ）证明：，， ∵， ， 所以,.　　 　∵, ∴平面.　 .…………………5分 （Ⅱ）由题意可知，平面，平面， ∴ 又∵，, 　　∴平面.　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∴平面的一个法向量为.　　　　　.……………………7分 ∵，,　　　　　　　 设平面的一个法向量为， 则，取, 所以平面的一个法向量为，　　.……………………9分 ∴.　　　　　　　 .……………………11分 显然二面角为锐二面角, ∴二面角的余弦值为.　 …………………………12分 19．解：（12分） （Ⅰ）由题意可知：，, 　　　　　　　∴, ∴. ………………………………………3分 （Ⅱ）设， 由, 消去得，　　　　　　 . ∴.　　①　　　　　　　　　　.……………………5分 则，,　　　　　 .　　　　　　　　　　　 .…………………………7分 又∵. ∴,　即：.　　　 ……………………9分 ∴满足①式, ∴ 　　　 　　　.　　　 ∴线段的长为.　　　　　　 …………………………………12分 20．（12分） 解：（Ⅰ）当时，,　　　　　　　　 ,　　　　　　　　　　　　　 　 　 令得或.　　　　　　　　　　�———�…………………1分 　　　当变化时，，的变化情况如下表: + 0 单调递增↗ 极大值 单调递减↘ ∴, . 　　　　　　　　　　　 ……………………4分 （Ⅱ）　　　　　 　　　∵在上是单调递增函数, ∴在上恒成立.　�———�……5分 即：. ∵， ∴当且仅当时，成立. ∴ .　　　　　　　　　　　　　　　�———�…………………7分 （Ⅲ）由题意可知，　　　　 .　　　　　　�———�…………………8分 要判断是否存在零点，只需判断方程在内是否有解，即要判断方程在内是否有解.　　　 设,　　　　　　　　　　　　　�———�……………10分 　　　,　　　　 可见，当时，在上恒成立. 　　∴在上单调递减，在上单调递减. ∵, ∴在和内均无零点.　　　　　　　　�———�………………12分 ... ...