/ /基础过关 1.设函数f(x)=|x+a|+2a. (1)若不等式f(x)≤1的解集为{x|-2≤x≤4},求a的值; (2)在(1)的条件下,若不等式f(x)≥k2-k-4恒成立,求k的取值范围. 2.设a>0,b>0,且a2b+ab2=2,求证: (1)a3+b3≥2; (2)(a+b)(a5+b5)≥4. 3.已知函数f(x)=|x-1|. (1)解不等式f(x-1)+f(x+3)≥6; (2)若|a|<1,|b|<1,且a≠0,求证:f(ab)>|a|f ?? ?? . 4.设函数f(x)=|x+1|-|x-1|. (1)求不等式f(x)>1的解集; (2)若关于x的不等式f(x)≥|a-1|+a有解,求实数a的取值范围. /能力提升 5.已知函数f(x)=|x-a|+|x+2|. (1)当a=1时,解不等式f(x)≥4; (2)若不等式f(x)≤|x+3|的解集包含[0,1],求实数a的取值范围. 6.已知函数f(x)=|x-1|+|x-3|. (1)解不等式f(x)≤x+1; (2)设函数f(x)的最小值为c,实数a,b满足a>0,b>0,a+b=c,求证: ?? 2 ??+1 + ?? 2 ??+1 ≥1. 限时集训(二十二) / 基础过关/ 1.解:(1)f(x)≤1,即|x+a|+2a≤1,所以|x+a|≤1-2a, 所以2a-1≤x+a≤1-2a,所以a-1≤x≤1-3a. 因为不等式f(x)≤1的解集为{x|-2≤x≤4}, 所以 ??-1=-2, 1?3??=4, 解得a=-1. (2)由(1)得f(x)=|x-1|-2. 不等式f(x)≥k2-k-4恒成立, 只需f(x)min≥k2-k-4, 所以-2≥k2-k-4,即k2-k-2≤0,解得-1≤k≤2, 所以k的取值范围是[-1,2]. 2.证明:(1)∵a>0,b>0,a2b+ab2=2, ∴a3+b3-2=a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b)≥0,∴a3+b3≥2. (2)(a+b)(a5+b5)=a6+b6+a5b+ab5=(a3+b3)2-2a3b3+a5b+ab5=(a3+b3)2+ab(a4-2a2b2+b4)=(a3+b3)2+ab(a2-b2)2, ∵a>0,b>0,a3+b3≥2, ∴(a+b)(a5+b5)≥22=4. 3.解:(1)原不等式等价于|x-2|+|x+2|≥6, 可得 ??≤?2, -2??≥6 或 -2|a|f ?? ?? , 只需证|ab-1|>|b-a|, 只需证(ab-1)2>(b-a)2. 因为(ab-1)2-(b-a)2=a2b2-a2-b2+1=(a2-1)(b2-1)>0,所以(ab-1)2>(b-a)2,即原不等式成立. 4.解:(1)由题意得f(x)= -2,??≤?1, 2??,-11得 ??≤?1, -2>1 或 -11 或 ??≥1, 2>1, 解得x∈?或 1 2 1 2 , 因此,不等式f(x)>1的解集为/x/x> 1 2 /. (2)因为不等式f(x)≥|a-1|+a有解,所以f(x)max≥|a-1|+a. 由(1)知f(x)max=2, 则有|a-1|+a≤2,即|a-1|≤2-a,所以a-2≤a-1≤2-a, 解得a≤ 3 2 ,即a的取值范围为 -∞, 3 2 . / 能力提升/ 5.解:(1)当a=1时,由f(x)≥4,得 ??1, 2??+1≥4, 解得x≤- 5 2 或x∈?或x≥ 3 2 , 则不等式f(x)≥4的解集为/-∞,- 5 2 /∪ 3 2 ,+∞ . (2)由题意知f(x)≤|x+3|在[0,1]上恒成立. ∵x∈[0,1],∴x+2>0,x+3>0, ∴|x-a|≤1在[0,1]上恒成立. ∵y=|x-a|在(-∞,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增, ∴ |0-??|≤1, |1-??|≤1, 解得 -1≤??≤1, 0≤??≤2, 即0≤a≤1, ∴a的取值范围是[0,1]. 6.解:(1)f(x)≤x+1,即|x-1|+|x-3|≤x+1. 当x<1时,不等式可化为4-2x≤x+1,解得x≥1, 又∵x<1,∴x∈?; 当1≤x≤3时,不等式可化为2≤x+1,解得x≥1, 又∵1≤x≤3,∴1≤x≤3; 当x>3时,不等式可化为2x-4≤x+1,解得x≤5, 又∵x>3,∴31,n>1,a=m-1,b=n-1,m+n=4. 则 ?? 2 ??+1 + ?? 2 ??+1 = (??-1 ) 2 ?? + (??-1 ) 2 ?? =m+n+ 1 ?? + 1 ?? -4= 4 ???? ≥ 4 ??+?? 2 2 =1,当且仅当m=n=2时取等号, 即原不等式得证. ... ...
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