第八章 立体几何 第一节 空间几何体及其表面积和体积 题型85 空间几何体的表面积与体积 1.（江苏6）如图所示，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下面及母线均相切．记圆柱的体积为，球的体积为，则的值是 ． 1.解析 设球的半径为，由题意，，所以．故填． 2．（天津理10）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为，则这个球的体积为 . 2.解析 设正方体的边长为，则.外接球直径为正方体的体对角线，所以，. 3.（2107全国1卷理科16）如图所示，圆形纸片的圆心为O，半径为，该纸片上的等边三角形的中心为.，，为圆上的点，，，分别是以，，为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以，，为折痕折起，，，使得，，重合，得到三棱锥.当的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：）的最大值为_____. 3.解析 由题意，联结，交于点，如图所示，则，， 即的长度与的长度成正比.设，则，，三棱锥的高，， 则.令，，，令，即，，当，得，所以 在上单调递增，在上单调递减.故，则， 所以体积的最大值为. 题型86 旋转体的表面积、体积及球面距离 4.（2107全国3卷理科8）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）. A． B． C． D． 4．解析 如图所示，由题可知球心在圆柱体的中心处，圆柱体上、下底面圆的半径 ，则圆柱体的体积.故选B. 题型87 几何体的外接球与内切球 第二节 空间几何体的直观图与三视图 题型88 斜二测画法与直观图———暂无 题型89 空间几何体的三视图 5.某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是（ ）. A. B. C. D. 5.解析 由三视图可知，直观图是由半个圆锥与一个三棱锥构成，半圆锥体积为，三棱锥体积为，所以几何体体积．故选A． 6.（全国1卷理科7）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）. A. B. C. D. 6. 解析 由三视图可画出立体图，如图所示，该多面体只有两个相同的梯形的面， ，.故选B. 7.（2107全国2卷理科4）如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）. A． B． C． D． 7．解析 该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，如图所示． .故选B. 8.（北京理7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（ ）. A. B. C. D.2 8. 解析 几何体四棱锥如图所示，最长棱为正方体的体对角线，即 .故选B. 9.（山东理13）由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 . 9. 解析 该几何体的体积为． 第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系 题型90 证明“点共面”“线共面”“点共线”或“线共点” ———暂无 题型91 截面问题———暂无 10.（江苏18）如图所示，水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均为，容器的底面对角线的长为，容器的两底面对角线，的长分别为和． 分别在容器和容器中注入水，水深均为． 现有一根玻璃棒，其长度为（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）. （1）将放在容器中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分 的长度； （2）将放在容器中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分 的长度． 10.解析 （1）由正棱柱的定义，平面，所以平面平面，． 记玻璃棒的另一端落在上点处，如图所示为截面的平面图形．因为，，所以，从而.记与水面的交点为， 过点作，为垂足，则平面，故，从而． 答：玻璃棒没入水中部分的长度为． （2）如图所示为截面的平面 ... ...
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