3.1.1 两角和与差的余弦 学习目标 1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤.3.理解两角和与差的余弦公式间的关系，熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用公式进行化简求值． 知识点一 两角差的余弦 思考1 cos(90°－30°)＝cos90°－cos30°成立吗？ 答案 不成立． 思考2 单位圆中(如图)，∠P1Ox＝α，∠P2Ox＝β，那么P1，P2的坐标是什么？与的夹角是多少？ 答案 P1(cosα，sinα)，P2(cosβ，sinβ).与的夹角是α－β. 思考3 由思考2，体会两角差的余弦公式的推导过程． 答案 在直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边分别作角α，β，其终边分别与单位圆交于P1(cosα，sinα)，P2(cosβ，sinβ )，则∠P1OP2＝α－β.由于余弦函数是周期为2π的偶函数，所以，我们只需考虑0≤α－β≤π的情况． 设向量a＝＝(cosα，sinα)， b＝＝(cosβ，sinβ)， 则a·b＝|a||b|cos(α－β)＝cos(α－β)． 另一方面，由向量数量积的坐标表示，有 a·b＝cosαcosβ＋sinαsinβ， 所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.(C(α－β)) 梳理 两角差的余弦公式 cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.(C(α－β)) 知识点二 两角和的余弦 思考 你能根据两角差的余弦推导出两角和的余弦吗？ 答案 能，cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝cosαcos(－β)＋sinα·sin(－β)＝cosαcosβ－sinα·sinβ. 梳理 两角和的余弦公式 cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.(C(α＋β)) 特别提醒：(1)公式中的角α，β是任意角，特点是用单角的三角函数表示复角的三角函数，cos(α－β)，cos(α＋β)是一个整体． (2)公式特点：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反，可用口诀“余余、正正号相反”记忆公式． 1.存在角α，β，使得cos(α－β)＝cosα－cosβ.( √ ) 提示 如α＝，β＝，cos(α－β)＝cos＝cos＝，cosα－cosβ＝cos－cos＝，满足cos(α－β)＝cosα－cosβ. 2．任意角α，β，cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.( × ) 提示 由两角差的余弦公式可知不正确． 3．任意角α，β，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.( √ ) 4．不存在角α，β，使得cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.( × ) 提示 如α＝β＝0，cos(α＋β)＝cos0＝1，cosαcosβ＋sinαsinβ＝1. 类型一 给角求值问题 例1 求下列各式的值： (1)cos40°cos70°＋cos20°cos50°； (2)； (3)cos15°＋sin15°. 解 (1)原式＝cos40°cos70°＋sin70°sin40° ＝cos(70°－40°)＝cos30°＝. (2)原式＝＝＝cos15°＝cos(60°－45°)＝cos60°cos45°＋sin60°sin45°＝. (3)∵cos60°＝，sin60°＝， ∴cos15°＋sin15°＝cos60°cos15°＋sin60°sin15° ＝cos(60°－15°)＝cos45°＝. 反思与感悟 对非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则．如果整体符合三角函数公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分求值，要善于逆用或变用公式． 跟踪训练1 求下列各式的值： (1)cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)； (2). 解 (1)cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°) ＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]＝cos(－60°)＝. (2)原式＝ ＝ ＝ ＝＝2. 类型二 已知三角函数值求值 例2 已知sinα＝－，sinβ＝，且π＜α＜，＜β＜π，求cos(α－β)． 解 ∵sinα＝－，π＜α＜， ∴cosα＝－＝－. 又∵sinβ＝，＜β＜π， ∴cosβ＝－＝－， ∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ ＝×＋×＝. 引申 ... ...
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