预习课本P101～104，思考并完成以下问题 1．如何计算点M(x0，y0)到直线l：ax＋by＋c＝0的距离？ 2．直线的法向量的定义是什么？ 1．点到直线的距离公式 点M(x0，y0)到直线l：ax＋by＋c＝0的距离d＝. 2．直线l：ax＋by＋c＝0的法向量 (1)与直线的方向向量垂直的向量称为该直线的法向量． (2)若直线l的方向向量v＝(b，－a)，则直线l的法向量n＝(a，b)． [点睛] (1)与直线垂直的向量都是该直线的法向量，故任意直线的法向量都有无数 多个． (2)若直线l的方程为y＝kx＋b，则其方向向量与法向量常分别设为(1，k)与(k，－1)． 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线l的方向向量u＝(1，－2)，则其法向量为(2，－1) ( ) (2)直线的方向向量与法向量互相垂直 ( ) 答案：(1)× (2)√ 2．直线3x－4y＋7＝0的方向向量a与法向量b可以为 ( ) A．a＝(3,4)，b＝(3，－4) B．a＝(－3,4)，b＝(4，－3) C．a＝(4,3)，b＝(3，－4) D．a＝(－4,3)，b＝(3,4) 解析：选C 直线Ax＋By＋C＝0的一个法向量为(A，B)，一个方向向量为(－B，A)，故可知C正确． 3．若向量＝(1,1)，＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为( ) A. B．2 C. D. 解析：选C 由于F1＋F2＝(1,1)＋(－3，－2)＝(－2，－1)，所以|F1＋F2|＝＝. 4．过点A(－1,2)，且平行于向量a＝(3,1)的直线方程为_____． 解析：设点P(x，y)是所求直线上的任意一点， 则＝(x＋1，y－2)． ∴∥a，∴(x＋1)－3(y－2)＝0. 即x－3y＋7＝0.∴直线方程为x－3y＋7＝0. 答案：x－3y＋7＝0 向量在解析几何中的应用 [典例] 已知A(2,3)，B(4，－5)，P(1,2)，求： (1)过点P且方向向量为的直线l1的方程； (2)过点P 且法向量为的直线l2的方程； (3)过点P且与A，B两点等距离的直线l3的方程． [解] (1)由题意知＝(2，－8)，故可设直线l1的方程为－8x－2y＋c1＝0.① ∵点P(1,2)在直线l1上，∴－8×1－2×2＋c1＝0， ∴c1＝12. 即c1＝12代入①式并化简，得直线l1的方程为4x＋y－6＝0. (2)设直线l2的方程为2x－8y＋c2＝0.② ∵直线l2过点P(1,2)，∴2×1－8×2＋c2＝0， ∴c2＝14. 将c2＝14代入②式并化简，得直线l2的方程为x－4y＋7＝0. (3)设线段AB的中点为M，则点M的坐标为M(3，－1)，＝(2，－3)，又设N(x，y)为直线l3上任一点，则＝(x－1，y－2)． 由∥，得2(y－2)＋3(x－1)＝0，整理，得3x＋2y－7＝0.与AB平行的直线方程同(1)，为4x＋y－6＝0. 故满足条件的直线l3的方程为4x＋y－6＝0,3x＋2y－7＝0. 利用向量解决解析几何问题的方法 (1)利用直线的方向向量和法向量求直线方程； (2)利用向量共线的条件处理解析几何中有关平行、共线等问题； (3)利用向量的数量积可以把有关长度、角度、垂直等几何关系转化为数量关系，从而解决问题； (4)利用平面向量的知识求动点的轨迹方程． [活学活用] 已知直线l经过点A(1，－2)，且直线l的一个法向量n＝(2,3)，求点B(2,3)到直线l的距离． 解：依题意得＝(1,5)，由距离的向量公式d＝，可得d＝＝＝. 答案： 向量在平面几何中的应用 [典例] 已知正方形ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P.求证：BE⊥CF. [证明]建立如图所示的平面直角坐标系，设AB＝2，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0,1)． ＝(－1,2)，＝(－2，－1)． 所以·＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0， 所以⊥，即BE⊥CF. [一题多变] 1．[变设问]本例条件不变，证明AP＝AB. 证明：连接AP.建系同例题，设点P坐标为(x，y)， 则＝(x，y－1)，＝(2,1)， 因为∥，所以x＝2(y－1)， 即x＝2y－2， 同理，由∥，得y＝－2x＋4， 由得 所以点P坐标为. 所以||＝＝2＝||，即AP＝AB. 2．[变条件，变设问]如图，在平行四 ... ...
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