1．3.1 函数的单调性与导数 预习课本P22～26，思考并完成下列问题 (1)函数的单调性与导数的正负有什么关系？ (2)利用导数判断函数单调性的步骤是什么？ (3)怎样求函数的单调区间？ 1．函数的单调性与其导数正负的关系 在某个区间(a，b)内，如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减；如果恒有f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)在这个区间内是常数函数． [点睛] 对函数的单调性与其导数正负的关系的两点说明 (1)若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，在其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)． (2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0. 2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个函数在这个范围内变化的快，其图象比较陡峭．即|f′(x)|越大，则函数f(x)的切线的斜率越大，函数f(x)的变化率就越大． 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．( ) (2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．( ) (3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 2．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( ) A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞) 答案：D 3．函数f(x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上( ) A．是增函数 B．是减函数 C．在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减 D．在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增 答案：A 4. 函数y＝x3＋x在(－∞，＋∞)上的图象是_____(填“上升”或“下降”)的． 答案：上升 判断或讨论函数的单调性 [典例] 已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1－，讨论函数f(x)的单调性． [解] 由题设知a≠0. f′(x)＝3ax2－6x＝3ax， 令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝. 当a>0时，若x∈(－∞，0)，则f′(x)>0. ∴f(x)在区间(－∞，0)上为增函数． 若x∈，则f′(x)<0， ∴f(x)在区间上为减函数． 若x∈，则f′(x)>0， ∴f(x)在区间上是增函数． 当a<0时，若x∈，则f′(x)<0. ∴f(x)在上是减函数． 若x∈，则f′(x)>0. ∴f(x)在区间上为增函数． 若x∈(0，＋∞)，则f′(x)<0. ∴f(x)在区间(0，＋∞)上为减函数． 利用导数证明或判断函数单调性的思路 [活学活用] 判断函数y＝ax3－1(a∈R)在(－∞，＋∞)上的单调性． 解：∵y′＝(ax3－1)′＝3ax2. ①当a＞0时，y′≥0，函数在R上单调递增； ②当a＜0时，y′≤0，函数在R上单调递减； ③当a＝0时，y′＝0，函数在R上不具备单调性. 求函数的单调区间 [典例] 求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x3－3x＋1； (2)f(x)＝x＋(b＞0)． [解] (1)函数f(x)的定义域为R， f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＞0，则3x2－3＞0. 即3(x＋1)(x－1)＞0，解得x＞1或x＜－1. ∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)， 令f′(x)＜0，则3(x＋1)(x－1)＜0，解得－1＜x＜1. ∴函数f(x)的单调递减区间为(－1,1)． (2)函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， f′(x)＝′＝1－， 令f′(x)＞0，则(x＋)(x－)＞0， ∴x＞，或x＜－. ∴函数的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)． 令f′(x)＜0，则(x＋)(x－)＜0， ∴－＜x＜，且x≠0. ∴函数的单调递减区间为(－，0)和(0，)． (1)利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为： ①确定函数f(x)的定义域； ②求导数f′(x)； ③在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0； ④根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间． (2)如果一 ... ...
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